数学联结影响学生的数学理解研究

李朋

【摘 要】本文从实证的角度出发，论证优化联结的学习理论对中学生在数学理解中的显著性作用。经过实验研究得到的结果表明：学生的数学理解水平与其联结有密切的联系，新旧知识的联结强度对学生的数学理解有重要影响，知识本身各个表征之间的联系与转化能够促进学生的数学理解，知识的联结对学生迁移能力和创新思维有显著性影响。

【关键词】中学生 数学理解 联结 转化 迁移能力 创新思维

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2018）05B-0037-03

联结作为认知心理学的一种理论，认为事物之间是联系，是相关的。在讨论学习问题时，联结主义是将具有神经元功能的大量单元组合成网络，考查它们并行的动态特征。以此立场来看，所谓学习就是联结权重的变化，是原来的联结消失而产生一种新的联结关系，或者说，联结主义所谓的学习就是对联结权重的适应性变化，通过联结权重的改变以使输出符合期望。

近年来，联结作为一种能力逐渐引起教育学家的关注和研究。美国数学教师协会（NCTM）于 2000 年 4 月颁布了《数学课程标准》，其中提出了 5 条有关数学能力：“运算能力、推理能力、问题解决能力、数学联结（eonneetion）能力、表达能力。”联结已经成为数学教育界研究的一种新动向。徐斌艳教授在《数学教育展望》一书中，将数学本质归纳为：统一主题、数学过程、数学联结等，其中统一主题包括变换、数据和形状三个方面，数学过程包括表征、应用、问题解决和推理，数学联结包括数学思想和图表。应该说统一主题属于知识结点，数学过程属于思维结点，而数学联结则属于观念结点。李士琦教授认为：“学习一个数学概念、原理、法则，如果在心里上能组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部知识网络的一部分，那么才说明是理解了。”所以联结理论正好为数学内部各概念、原理及实际问题应用之间联系搭建起有效的桥梁。

在现行教学中，许多教师经常会碰到这样的情况，看似“很清楚”的概念或原理，学生却不能正确运用它们解决相关问题；另外，刚才还会解决的问题，进行相关的变式，或以另一种形式出现时，学生却又不知所措。对于这样的现象，笔者认为，一方面，是因为学生对数学基本概念、定理、法则等的本质内涵理解肤浅或者是根本不理解，一味地死记硬背、套题型做习题，这与教师过多注重“题海战术”，忽视对概念和原理的理解有一定关系；另一方面，由于学生对学过的知识不能有效地联结，使知识零乱堆放，形成单独的个体，没有使知识之间形成有效的联结机制，造成思维中断；再一方面，由于学生对概念和原理的认识趋于表面化，认识的形式单一化，没有从全方位去理解，同时对问题展现的形式之间不能有效地进行转化等，这些问题都是目前实际教学中迫切需要解决的问题。

结合学校“数学智慧树的生长及教学策略研究”课题以及我们长期深入教学一线的体验，在文中，根据吕林海博士在《数学理解性学习与教学研究》中把数学理解分为“经验性理解、形式化理解、结构化理解、文化感悟与理解”四个层次的基础上，从‘中观层面—— 以整体意义上的数学内容为着眼点，探讨学生数学理解的层级发展及其具体内涵，将其划分为经验性理解、形式化理解、关系型理解和观念性理解四个水平。数学联结能在多大程度上促进学生的理解水平？通过什么样的方式或策略提高学生的数学联结？这需要实证。由此我们进行深入研究。

一、研究方法

（一）被试

本实验选取桂林某县高一年级的两个班的学生作为研究对象，实验班的人数为 57 人，对比班的人数也为 57 人。

（二）材料

1.学习材料

根据实验学校的教学进度以及联结学习理论的适应性，本次实验的教学内容以人民教育出版社出版的《全日制普通高级中学教科书（必修）》第一册（上）《第二章 2.6 节指数函数》为蓝本，根据实验学校学生的实际情况以及联结认知理论，基于优化数学联结学习的教学设计原则对指数函数教学内容进行必要的设计，同时在正式上课前对学生进行联结理论的培训和讲解。

为了精确考查联结对学生数学理解的影响，本实验打破原有的传统教学模式，在传统教案“复习引入—— 新课学习—— 练习巩固—— 概念应用”的基础上，将前两个环节变成情景的引入和问题的提出，后两个环节综合使用联结学习理论加深对知识的理解，以使达到迁移创新的目的。

2.评估材料

其一，指数函数学习过程的评估材料。结合数学理解的水平层次和数学联结学习理论，感受学生在学习过程中的反应以及学习结果的变化（成绩）。

其二，函数学习的前后测材料。前测材料是用来确认所选择的实验班和对照班学生的数学理解水平，这由前测成绩反映。后测材料是用来考查进行实验教学后，两个班的数学学习情况及变化，这由后测成绩反映。

其三，附加评估材料。为了定性了解联结学习理论对学生数学学习的影响，进一步确认这种教学理论对不同数学理解水平在学习过程中产生作用和变化。本研究在实验前，根据前测成绩将学生分为高、中、低三个层次，并在其中选取几个具有代表性的个案，在实验教学进行的过程中进行有意识的观察，在后测后对其所得成績与前测成绩进行比较，然后进行必要的访谈，从而确认联结学习理论在实际的教学和学生学习中的有效性。

（三）数学理解的前、后测试卷的编制和评价

选择以函数为测试内容，编制了一套试题，共 10 道大题，满分为 100 分，测试时间为 50 分。所编制的试卷是结合数学理解的四个层次进行选择和分布，其中，第 1 道题是开放题，用于了解学生对函数的感知；第 3，4，5 题考查学生函数的基本知识，主要用于考查学生的经验型理解和形式型理解；第 6，7 题主要考查学生在对知识理解的同时能否加以综合运用，是否具有迁移能力；第 8 到 10 题主要设置数学或生活情境，要求学生运用相关的数学知识来解决具体的问题，以使更好地掌握知识。

数学理解前后测试卷的评价方法主要采取各题目所占的基本分与在理解层次上的高低进行相应赋值，综合给定一次计算的方式，其中，赋值分上按照理解层次高低进行增加：经验型理解正确加 1 分，形式化理解正确加 2 分，关系型理解正确加 3 分，观念型理解正确加 4 分。其中关系型理解的体现是正确把握知识点之间的联系，观念型理解主要是表现在能够将数学知识综合应用于具体生活情境之中，并能对问题进行正确解决的能力。试卷成绩是综合问题的基础分、理解层次的赋值分、卷面分以及对学生在问题解决过程中迁移和创造性给予适当得分的部分。

（四）研究目的

本实验以提高学生在数学学习过程中的数学理解水平为主要内容，以数学联结为基本载体，以优化联结学习的教学设计为教学策略，以提高学生数学理解能力，实证教学效果。

（五）研究方案

本实验的实验班与对照班分别选取不同的教学方案，同时给予前测和后测以及相应的联结理论学习和培训。实验班采取优化联结学习的教学设计方式，对比班采取传统的教学设计方式。

具体的模式如表 1 所示：

表 1 实验模式

实验自变量（G） 前测 处理 后测

实验对象 X1 不接受 Y1

X2 接受 Y2

（六）研究假设

1.实验的教学效果优于传统教学；

2.实验教学能够显著地提高学生的数学理解能力。

（七）研究的时间与次数

本次实验共历时两个月，从实验预演到正式实验共进行三次。

（八）研究数据的收集与处理

本次实验的数据以面谈、课堂观察、试卷得分的方式进行收集，然后由研究者将其录入到 SPSS13.0 软件中。

二、研究结果及分析

（一）研究结果

具体见表 2、表 3、表 4、表 5、表 6。

（二）研究分析

根据实验的目的和实验的结果，我们主要从两个方面进行分析。

1.传统教学设计与优化数学联结的教学设计的学习结果

在实验之前我们对两个班的学生进行了数学理解的前测并对前测成绩进行独立样本的 T 检验，结果如表 2 所示，从两个方面看：①方差齐性检验结果，F 值是 0.093，显著性概率为 P=0.761>0.05，因此结论是两组方差差异不显著，即可认为两组方差是相等的；②均值相等的 T 检验结果，T 值为 -2.666，自由度为 112，双尾（2-tail sig） t 检验结果显著性概率为 P=sig=0.009<0.05，可以得出两个班的数学理解水平存在显著性差异。在进行教学试验后，我们对后测试卷的成绩也进行独立样本 T 检验，结果如表 3 所示，从两个方面来看：①方差齐性检验结果，F 值为 0.035，显著性概率为 P=0.851>0.05，因此两组方差差异不显著，即认为两组方差是相等的；②均值相等的 T 检验结果，t 值为 -4.615，自由度为 112，双尾（2-tail sig）t 检验的显著性效率 P=sig=0.000<0.05，可以得出两个班的后测成绩存在显著性差异。

综合上述，两个班数学理解水平存在显著性差异，但在后测 T 检验结果中，双尾（2-tail sig）t 的显著性概率比前测 T 检验结果中双尾（2-tail sig）t 的显著性概率更为显著，即 P=sig=0.000<0.009；同时对比前后测的均值，如表 4 所示，发现在前测中实验班的均值是 36.98，而在后测中均值变为 50.46；而对比班在前测中的均值为 31.12，在后测中均值变为 36.18，在前测中实验班与对比班的均值差为 5.86，而在后测中两班的均值差为 14.28，说明在实验班与对比班数学理解存在差异的情况下，经过实验教学，实验班学生的数学理解水平相对前测有了很大提高，说明优化联结学习的数学教学理论是有效的。当然，在 T 检验的量表中，我们也发现对比班在前测的均值为 31.12，而后测均值变为 36.18，说明在传统理论教学中学生的数学理解水平也有进步，但是进步幅度不如实验班，说明传统教学也有其有效的一面，所以通过实验说明优化联结的学习教学优于传统的教学。

2.优化联结的数学学习教学在提高学生数学理解效果方面的表现

从上述前测独立样本 T 检验得知，所选的两个优等班在数学理解水平上存在差异。在后面的实验教学以及后测试卷解答中考虑到前测结果对其影响，我们在接下来的统计中采用协方差分析。我们将两个班学生的前测成绩（x）设为协方差，即协变量，将两个班学生的后测成绩（y）设为因变量，设两个班所采用的不同教学方法（g）为自变量。

本实验采用协方差分析的原因在于：①相对方差分析多了一个协变量，用于弥补实验对无关因素的控制；②协方差分析在控制协变量过程中，能够减少实验的误差，增加实验研究的内在效度；③由于本实验在前测时发现两个班数学理解水平存在显著性差异，故而通过协方差分析进行补救性统计分析，将前测的影响因素进行剔除。

对本教学实验的后测成绩进行协方差分析，从表 5 中可以得知，排除共变量（前测成绩）对因变量（后测成绩）的影响后，自变量（两种不同的教学方法）对因变量所造成的实验处理效果显著，其中 F=13.476，P=sig=0.000，表示后测成绩的高低全因受试样本所接受的实验处理（自变量）的不同而有显著性差异存在。由于协方差分析检验结果达到了 0.05 的显著水平，必须进一步进行事后比较，以得知是哪几组受试样本在因变量的平均数有显著差异存在。

上述表 6 是在协方差分析事后的多重比较，比较的依据是以调整后的平均数组间成对差异，经过成对的事后比较结果可得知，对比班相对于实验班的平均数的差异为 -8.82，而实验班相对于对比班的平均数的差异为 8.82，所以第二组的实验处理效果成绩均优于第一组，表示接受第二组的受试者，其实验处理后的效果显著，比接受第一组的受试者好，所以说优化联结的数学教学在提高学生数学学习效果方面表现是显著的。

三、结 论

1.学生的数学理解水平与其联结有密切的聯系；

2.新旧知识的联结强度对学生的数学理解有重要影响；

3.知识本身各个表征之间的联系与转化能够促进学生的数学理解；

4.知识的联结对学生迁移能力和创新思维有显著性影响。

【参考文献】

[1]贾林祥.认知心理学的联结主义理论研究[D].南京：南京师范大学，2002

[2]刘娟娟.联结学习对培养初中生数学创新意识的影响[D].桂林：广西师范大学，2007

[3]李士锜.数学教育心理[M].上海：华东师范大学出版社，2001

[4]何文林.高中生的数学元认知与数学理解的关系研究[D].桂林：广西师范大学，2009

[5]唐剑岚.数学多元表征学习与教学[M].南京：南京师范大学出版社，2009

（责编 卢建龙）