主动力信息足以确定静摩擦力的指向吗？

陈奎孚 姚海蓉 张云文

(中国农业大学 1理学院， 2工学院，北京 100083)

在画受力图时，学生往往执着于判定力的指向，这是因在初中这个记忆力黄金阶段就学习了力的3要素(大小、方向和作用点)，此后经中学物理和大学物理的反复加强，力的方向意识已经根深蒂固了。但随着分析对象复杂，判断力的方向变得很困难，尤其是摩擦力的指向。摩擦力在教学中是一种很典型的力，它在初中物理中即有介绍，且在日常生活中时不时地会接触到，但是对静摩擦力指向的确定，学生总感觉是个很富有挑战性的难题。尽管教材提供了判据：静摩擦力的指向与相对运动趋势相反，但这个判据并不好用，因为运动的“趋势”很难由示意图的几何信息判断出来。实际上，对物理课程常用的例题和习题进行梳理(不管是初中物理、高中物理，还是大学物理)，可发现它们大多为质点模型，且受力相对简单，比如图1(a)这样的例子。对这些简单例子，“运动趋势”的判断往往都是由分析主动力的信息来完成的。

图1 静摩擦力的典型例题

对于比较复杂的问题分析，学生也常常企图在画受力图时就弄清楚静摩擦力的指向，然而此时用主动力的信息来判断“运动趋势”变得很困难，这是因为： (1)复杂问题中有刚体(不再是质点)，且主动力可能会很复杂(比如图1(b)); (2)有时刚体上的“主动力”也是待定的(比如图1(c))，待定值的大小会影响摩擦力的指向; (3)研究对象发生刚体平面运动(图1(d)); (4)物体的“总体运动”与接触面的相对运动可以不一致，比如图1(d)中纯滚动的轮子，轮心有运动，但轮子与地面接触点的速度为零，加速度垂直于公切线(但依然是静摩擦力，不是“滚动摩擦力”)。上述诸因素使得静摩擦力指向更难以预先判定。

其实，不仅是学生，老师也同样有“静摩擦力指向”的纠结，因而提出了诸多判据[1-8]。有些判据企图只使用主动力的信息。这就还存在这样一个问题：静摩擦力的指向可由主动力信息唯一确定吗？

对于动力学情形，本文将展示主动力信息不足以唯一确定静摩擦力的指向。换句话说，想找出这样的普适判据是徒劳的：仅利用主动力信息判断静摩擦力的指向。只有在某些特殊条件下，才能由主动力信息判断出静摩擦力的指向。刘涛等曾提出一个摩擦力指向的判据[10]，本文还将论证这个判据的合理性。

1 平衡情形

图2 平衡情形的摩擦力分析

对图1(a)这样简单的情形，摩擦力的指向可以根据该图中的F直接判断出来。对于主动力很复杂的情形，特别是像图1(c)这种含“待定主动力”的情形，在画受力图时就企图找到摩擦力的“正确”指向，不仅很困难，而且“正确”指向也有可能随待定主动力的取值而变化。

上述陈述中“正确”加了引号，其实更确切的表述是“正值”，即正的数值。力是矢量，它有大小和方向两个属性。在常规语境下，几何“大小”不取负值，因此：摩擦力的“正确”指向，习惯上就是摩擦力大小为“正的数值”所对应的指向。如果允许力的大小可以取“负的数值”，那么就无需纠结于“正值”指向了。在画受力图时，只要把力的作用线画对即可，受力图上箭头示意的力指向则从作用线的两个指向中随便选择一个即可。下面以平面力系平衡问题为例，论述这样做的合理性。

Fx(Fs)=0,Fy(Fs)=0,M(Fs)=0

(1)

如果将受力图上的摩擦力箭头指向反一下，则主矩和主矢的3个分量变为M(-Fs)、Fx(-Fs)和Fy(-Fs)。此时平衡的充要条件为

Fy(-Fs)=0,Fx(-Fs)=0,M(-Fs)=0

(2)

图3 边缘平滑刚体的纯滚动的摩擦力分析

假设Fs=ξ是方程(1)的解，那么容易验证Fs=-ξ也是方程(2)的解。也就是说，静摩擦力指向的反与不反的区别仅仅是静摩擦力数值差个正负号而已。因此，在画受力图时，完全没有必要纠结于静摩擦力的正值指向。关于受力图中力矢指向的详细讨论可参考文献[11]。

显然, 上述静摩擦力指向的处理也适用于空间力系问题。在数学上，达朗贝尔原理可把动力学问题变成静力学问题，所以对于动力学问题，静摩擦力的指向也可从作用线的两个方向中任意选一个即可。

总之，就静摩擦力大小的计算而言，它的指向并不是很关键。当然对学习摩擦力概念而言，为了理解摩擦力的物理本质，应当强调“静摩擦力的指向与相对运动趋势相反”这样的判据。

2 动力学情形

就圆柱(或圆盘)纯滚动的动力学问题，很多作者对其中的静摩擦力指向进行了讨论[1-8]，但笔者认为从计算角度, 即使对动力学问题，静摩擦力的指向判断也不是很重要的命题。不仅如此，下面还将展示：主动力信息不足以唯一确定静摩擦力的指向。只有在特定条件下，静摩擦力的指向才能被主动力信息唯一确定。

2.1 计算静摩擦力

下面讨论较为普适的情形，即图3(a)所示的边缘平滑刚体在地面上纯滚动。不失一般性，刚体与地面的公切线取图示位置的水平方向。刚体所受的全部主动力向其质心C简化得到主矢Fx+Fy和主矩MC，此时刚体转动的角速度和角加速度分别为ω和α。Fx的作用线与公法线相交于Q点，质心C与切点A的连线与公切线夹角为θ，刚体的质量为m，绕A的回转半径为ρA。

(3)

采用达朗贝尔原理分析。为此以A为基点，看动点C有

(4)

由达朗贝尔原理有

从式(5)可解出

(8)

式(7)可变为

(9)

(10)

2.2 讨论

(1) 式(10)中没有出现Fy，即主动力系主矢量的法向分量与静摩擦力大小无关。当然Fy的取值要保证FNA>0，以使刚体与地面之间有压力(由式(6)确定)。另外，如果FNA过小，静摩擦力达到最大静摩擦力，刚体就可能滑动，从而无法保证纯滚动。下面的讨论，均默认FNA>0且静摩擦力小于最大静摩擦力。

(11)

这样式(10)可写成

(12)

如果把刚体看作为绕A做定轴转动(A速度为零，且其加速度沿法线，与定轴转动有类似之处)，则D就是刚体的撞击中心。

式(12)表明有两个因素会影响静摩擦力大小，一是主动力向撞击中心简化的主矩，二是刚体转动的角速度，它们分别对应式(12)的第一项和第二项。

(3) 在式(12)中，第二项与角速度有关，它与当前时刻的主动力信息无关，因此对动力学问题，当前时刻的主动力信息不足以确定静摩擦力的数值，更不用说正值指向。

一个极端例子如图4所示，质量偏心的圆轮在水平面上纯滚动，力F作用在质心C上，且其大小始终等于轮子重力mg。显然两个主动力F和mg相互抵消，即主动力为零力系(主矢为零，且对任意点的主矩为零)，但是Fs不为零，论证如下：轮子作匀角速度纯滚动，轮心O的速度不随时间变化(加速度为零), 但是质心C的加速度

图4 主动力信息不足以确定静摩擦力指向

(13)

也就是：如果主动力系向撞击中心简化的主矩MD为逆时针，则FsA正值指向向左；而当MD为顺时针，则FsA正值指向向右。如果MD为零，则静摩擦力为零。

进一步若Fx=0，则相当于刚体上主动力为纯力偶，此时就不用找撞击中心了。

(5) 讨论(4)中的3种情形解释如下。

情形A相当于初瞬时情形，或刚体作瞬时平移的情形。

情形B最为常见，很多作者讨论的均质圆柱(或圆盘)纯滚动就属于这种情形。因为有时对质心加速度更有感觉，故有作者企图利用轮心的切向加速度来判断静摩擦力的指向。可以证明

(14)

图5 主动力简化为正交的两个集中力

显然用式(14)判断静摩擦力的正值指向，过程并不简明，不如式(13)方便。

3 一个判据的合理性

刘涛等曾给出下述判据:“只要假设此刚体不受到静摩擦力作用，那么刚体上的触点相对于接触面运动的加速度反方向，即为静摩擦力方向”[10]。该准则后来被多人反复提起[5,6],但一般都是针对均质圆轮的定性讨论。对任意形状刚体的纯滚动，未见讨论，更未对准则的正确性给予严格的证明。

下面将严格证明上述准则的合理性。

图6 假设光滑模型

以A为基点，C为动点有

(15)

沿x方向有

即得到

(16)

与式(8)两边相乘有

(17)

第一，这个判据使用了“假设光滑”后的接触点切线加速度，不是速度(速度依然是零)。注意：动滑动摩擦力的指向用相对速度的方向来判定。

第三，如果式(12)的第二项为零，则可以不考虑角速度。经常讨论的均质圆轮滚动属于这种情形，即操作中可以忽略角速度的影响。

(18)

4 结语

本文对静摩擦力的指向问题进行了探究，所得要点如下：

(1) 不管是静力学，还是动力学，就计算静摩擦力的大小而言，静摩擦力的指向并不是很关键的问题，可在作用线的两个方向中任取一个即可。

(2) 对某些动力学问题，主动力的信息不足以唯一确定静摩擦力的指向。

(3) 当刚体质心位于通过接触点的法线上时，可以计算主动力对撞击中心的主动力矩。静摩擦力的正值指向应当使其对撞击中心的矩与主动力力矩平衡。此判据最为简洁。

(4) 可以假设接触点无摩擦，得到刚体上接触“质点”的切向加速度，而原问题的静摩擦力方向就与该切向加速度方向相反。但是“假设光滑”后，接触点的切向加速度计算也不容易。

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