对一道中考模拟题的改编、分析、思考与再编

☉南京航空航天大学附属初级中学 汤晓静

近期，在一次中考模拟测试中，笔者对一道模拟试题进行改编，考后受到同行和学生的一致好评，下面对整个过程（改编、分析、思考、再编）进行简单介绍，不当之处，敬请指正.

一、试题呈现

（改编题）如图1，在长方形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD的中点，点F是边CD上的动点，连接EF，作EG⊥EF交边BC于点G.

（1）若点F是边CD的中点，求EG的长.

（2）当点F在边CD上运动时，∠EFG的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠EFG的值.

图1

图2

二、改编说明

上述试题是一道改编题，原题以坐标系为载体，坐标原点O与点B重合，边BC、BA所在的直线分别为x轴和y轴，此时AB和BC的长度以坐标的形式给出；原题中对于“点F是边CD上的动点”是这样描述的：点F从点C出发，以每秒1个单位长度的速度在线段CD上移动，设移动时间为t，这样原题中的第（3）问就是“求此时t的值”；原题中第（3）问较难，需要分类讨论，其中是这样给出条件的：当EH将△EGF分成的两部分的面积之比为1∶2时，求相应的t值.笔者认为改编后的试题题干叙述更加简洁、设问更加清晰；学生理解起来更加容易，做题过程中思路也更加开阔，摆脱了平面直角坐标系的限制，解法更加经典、简洁，符合“好题”的命制理念和追求.

三、思路分析

第（1）问：略（主要考查学生对中位线基本知识的掌握）.

第（2）问：主要考查学生对“直角”问题处理策略的灵活掌握情况，如图3所示，容易得到△PGE∽△QEF，所以进而tan∠EFG=.运用此题的处理方法，可以轻松解决下面这个题目：

图3

图4

如图4，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数y=-、y=的图像交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（ ）.

A、逐渐变小 B、逐渐变大C、时大时小 D、保持不变此外，还可以引导学生通过“四点共圆”的视角去理解，易得∠EFG=∠ECG，进而解决问题.

第（3）问：在原题的求解过程中由于平面直角坐标系的存在，大体思路如下：首先容易得到点F和点G的坐标；然后将面积关系转化为线段的比值关系，进而求得点H的坐标；最后利用待定系数法求得线段EC所在直线的方程，再将点H的坐标代入，进而解决问题.

这里我们可以引导学生通过几何的角度去解决问题，通过构造相似将改编题中的转化为（如图5）.

图5

设CF=t，则QF=3-t，根据第（2）问的分析可以得到，进而CG=PQ=EQ+EP=4+，所以KG=

四、两点思考

1.注意对基本图形的考查

通过上面的介绍可以看出，改编后的考题更加重视对初中阶段基本知识和基本图形的考查，涉及到的基本图形主要有三角形中位线的基本图形，相似中的“一线三等角”和“X型图”等，当然每一个基本图形都对应着初中阶段的一个核心知识，应该引起一线教师的足够重视.

2.加大对基本思想的渗透

一线教师在教学中应该利用典型题目，加大对基本思想的渗透.以改编题的第（2）问为例，此处应该渗透函数的思想，引导学生体会通过正切值的不变性是如何说明角度不变的.在第（3）问的求解过程中用到了一系列的转化，首先通过添加辅助线将转化为，然后根据比例关系将求GK的长度转化为求CG的长度，最后将CG的长度转化为PQ（PQ=EQ+EP）的长度，将问题一步一步解决，教学中应该引导学生重点体会如何将未知化为已知.

五、变式再编

再编1：对于此题还可以从下面的角度进行考查：当点F在边CD上运动时，四边形EFCG面积的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出该值.

再编2：可以改变∠GEF的呈现形式，引入“旋转”：∠GEF绕直角顶点E旋转，旋转过程中与边CD、BC分别交于点F和点G，其余条件不变.

再编3：可以改变四边形ABCD的形状，比如改为正方形或任意的长方形.

再编4：可以改变点E的位置：点E为对角线BD上的任意一点（不与端点重合）.

再编5：可以改变点F和点G的位置：在“旋转”的背景下，可以让点F和点G在边CD和边BC所在的直线上.

下面给出一例：

如图6，在矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角形的顶点P放在两对角线AC、BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB、BC所在的直线相交，交点分别为E和F.

（2）如图7，现将三角板绕点P逆时针旋转角度α（0°＜α＜60°），求的值；

（3）如图8，在（2）的基础上继续旋转，60°＜α＜90°，再在AC上移动点P，使的值是否变化？证明你的结论.

图6

图7

图8