一题多解，多解归一

杨露露

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2018）24-0146-01

解题，作为数学教学活动过程中的核心内容，它既是推进数学认知过程的有效手段，也是培养学生数学思维能力的重要途径.在解题教学中，越来越多的人提倡“一题多解”.但是面对“一题多解”，教师有些茫然，导致他们在教学中经常会进入一些误区.例如盲目地罗列多种解法，重“量”轻“质”，教师以为把自己的“研究成果”无私地奉献给学生，却不知道学生在惊叹于教师的高明之余茫然于各种解法的得到，甚至会使学生产生自卑感等消极的心态.教师致力于寻找各种不同的解法却忘了对多种解法中的思想方法理解透彻、融会贯通.目前这种状况就需要教师对“一题多解”的教学及时反思，找出相应的教学策略。

面对“一题多解”，教师应何去何从呢？

1.一题多解，多解归一，一题一解

对于书上的解答或者是学生提出的多种解法，教师都应该对这多种解法进行分析，分析多种解法中分别运用的方法，涉及到的知识点，蕴含的数学思想方法.如果几种解法虽然算式、程序不完全一样，而解题的立义和根据无根本的不同，其实可以多解归一.一个题目的多种解法中总会找到共通点，教师应充分挖掘其内在联系及背后的思想方法。“一题”之所以能“多解”，往往就在于这些解法之间是有联系的，这些联系之间是有规律可循的，通过“多解”后的“归一”，让学生能站在系统的高度看问题，进而升华到从哲学的角度认识世界，这样就可以形成强大的认识力，由此获得对数学的通透理解。[1]

到底讲哪些方法好？时间允许吗？该不该给学生讲所有的方法？等等這些问题困惑着一线教师。笔者认为，其实问题的关键不在于解法的多少，而在于透过这些不同的解法，能够挖掘出多种解法的内在联系，提炼出多种解法中的思想方法。因此最根本的是掌握基本概念、定义、性质等，进而把问题化归转化为已知问题求解。

2.一题多解，求善择优，一题一解

单墫先生指出“不管什么题目，一味地追求多种解法，勉强凑数，矫揉造作，那就不好了.解法仍以简单、自然为上，即使有多种解法，也应分清优劣，择善而从，这也是有无见识或见识高低的差别”[2]。面对“一题多解”，教师要判断解法的优劣，力求找出一种最优解——“一题一解”

数学解题，应注重通性、通法.通性、通法是最自然地，往往也是最简单地解法。[2]

那么，教师应该如何求“善”择“优”？按什么标准确定多解中哪种方法最好呢？

2.1 解题的立意与基本概念相联系——通性。解法没必要罗列太多，虽然有些解法比较独特，但是如果太繁琐就要忍痛割爱.如果刻意地去强调多种解法，贪多求全，反而不利于知识的概括和系统化，实际也不利于知识的记忆与掌握.所谓“通性”的方法，利用的都是基础知识和基本技能，不用太多的技巧，有利于达到解题教学的目的。

高中教学一直有一个误区，就是不重视基本概念的理解，有些题目看似复杂，但是其实只需要用基本知识就能解答出来，一般来说，书上的基本知识都是由定义的演变，公理的推算得到的，能有效地体现事物的本质所在.所以数学要表达的事情，几乎都包含在基本概念中，而对数学题的解答也是与基本概念分不开的.例如函数的奇偶性、单调性、周期性判断的问题，都可以运用知识点的概念来完成解题。

2.2 解题的方法是学生所熟悉且常用的——通法。 数学解题时会遇到多种解法，但是有些解法技巧性很强，而这些技巧不是数学的核心内容，这些解法学生不一定会掌握，而且可能更容易混淆，那么就完全没必要去要求所有学生掌握这些解法，不必‘为技巧而技巧，当然有能力的学生就当作积累一些解题经验.通法采用的是常规思维，所以数学解题时，还是要回到最常用的解法——通法，只有最常用，学生最熟悉的解法，才有利于学生对此类题的掌握，最后才能达到解题教学的目的。

如果按照上述标准，注重通性通法，加深对基本概念的理解和记忆，掌握一类题的特点和规律，不会过多地增加记忆负担.尤其对高三的学生来说，“一题一解”能够减轻他们记忆负担，而且也有利于掌握。

因此，简单、自然的通性、通法是教师考虑最优解的标准。

面对“一题多解”，如何多解归一？这对教师要求比较高，教师应当有丰富的学科知识，善于归纳、推理，判断解法的优劣.教师应该反复推敲多种解法，换位思考，站在解题人的角度，看看他们是怎么想出这种解法的，如果需要解决问题，需要具备哪些知识点等等。一个教师面对的学生总是存在差异性的，不同的学生由于解题经验、知识网络以及数学思维不同，他们解决问题的思路和方法也会有所不同.作为教师，如果不能高瞻远瞩，对学生的各种不同思路和解法进行鉴别和选择，力求使思路自然、解法简单，那么这对学生提高解题效率、有效学会解题是极为不利的。[3]在解题教学中，教师在备课时就要想到解答此类的题目需要用到哪些知识、学生遇到此类题目容易犯哪些错误以及犯错误的原因.对于此类的题目应该怎样解答容易让学生接受，符合学生的思维习惯，还有没有其他解法？这些解法都有益于培养学生的解题能力吗？都需要学生掌握吗？ 教师只有提高了自身的解题鉴赏能力，才能居高临下地考虑到以上这些问题，才能从容不迫地面对学生“突如其来”的“多解”。

面对“一题多解”，教师若能分析概括，而不是盲目地罗列多种解法；若能求善择优，而不是贪多求全；若能反思总结，而不是“过眼云烟”，那么在解题教学的道路上，教师必定能提高自身的数学素养，能够深入浅出地处理问题。