基于群组层次分析法的齿轮材料评判与选择

黄海松，秦志远，张 慧

1 引言

齿轮是常用的机械传动零件，能够较为精确地调节速度和传递功率，因而在汽车、机床、拖拉机等常用机械设备中广泛应用。齿轮的主要失效形式包括齿面点蚀、轮齿塑性变形及折断等。合理选择齿轮材料可以提升齿轮的内在质量与使用性能[1]。

众多学者对齿轮等机械材料的选择进行了深入研究。文献[2]结合矿山机械的工作特点和工作环境，将备选材料的各项性能进行对比分析，实现了矿山机械齿轮材料的选择；文献[3]依据经验介绍了几种工况下的常用的矿山机械齿轮材料，并分析了化学元素和热处理方法对齿轮材料性能的影响；文献[4-5]分别将多层级模糊综合评判法应用到绿色制造中的齿轮材料和车床主轴材料选择方法中；文献[6]基于模糊层次分析法对机械工程材料的选择进行了研究。综合以上文献，可以得知齿轮材料的选择需要综合考虑多方面因素，且涉及定性与定量分析。对齿轮材料进行系统客观且全面的评价和选择，单一的某类方法已不能满足需求。

层次分析法（Analytic hierarchy process，AHP）结合定性判断与定量分析，利用数量形式处理人的主观偏好，实现科学决策。群组层次分析法（Group analytic hierarchy process，GAHP）以层次分析法为基础，集合多位专家的判断信息，根据专家经验和知识水平对不同专家的判断信息赋予权重，有效避免主观差异性，使决策结果更加合理[7]。对于确定的某几种材料，在某工况下判断相互之间的性能优劣，往往存在一定的模糊性。模糊综合评判（Fuzzy comprehensiveevaluation）能够借助人的经验将此类模糊性得以量化，得到确定的评判结果，适合运用于材料的选择研究。

将群组层次分析法和模糊综合评判结合使用，不但可以融合多位专家学者的意见，确定各项指标的权重即重要性；还可以依据行业从业人员的经验减少评判模糊性，得到各项指标确切的评判分值，使评判结果更加准确合理。

2 齿轮材料选择体系构建

选择齿轮材料需要定性和定量分析，主要考虑其抵抗破坏的能力、加工工艺难易度、采购与加工成本等因素，同时应关注其环境友好度，尽量减少对自然环境的破坏。综合以上因素，并结合前人研究成果，建立机械性能、工艺性能、经济性、环境友好度等4个因素为一级指标，疲劳强度、耐磨性、塑性、韧性、热处理变形等12个因素为二级指标的齿轮材料选择体系，如图1所示。

图1 齿轮材料选择体系Fig.1 Gear Materials Selection System

2.1 构造判断矩阵

判断矩阵是专家对某一层次的所有因素的重要性进行两两比较得出的结果。为得到各因素相对重要性的定量表述，常用1～9标度法，其具体含义，如表1所示。

表1 1～9标度法及其含义Tab.1 1～9 Scaling and Meaning

以相对于总目标A，一级指标B1、B2、B3、B4的相对重要性为例，构建判断矩阵如下

式中：aij—相对于总目标A，指标Bi比指标Bj的重要性程度，使用1～9 标度进行选择。式中，aij＞0，aii=1，aij=1/aji。同理可得相对于一级指标 Bi，二级指标 Ci1，Ci2，…，Cij的相对重要性判断矩阵。

在群组层次分析法中，参与评判的多位专家必须独立构建判断矩阵，以保证结果的客观性。

2.2 指标权重确定

首先对同一层次内的所有因素根据重要性进行排序，因素重要性通过权重表示，通过判断矩阵可计算出权重向量，即同层次内所有因素的权重。选用乘积方根法计算权重向量：

（1）求出判断矩阵各行因素的几何平均值：

（2）将该行因素的几何平均值归一化处理，求处该判断矩阵所对应的权重向量：

可求得权重向量为：W=（w1，w2，…，wn）T

在某个理想的判断矩阵中，若存在因素甲比因素乙重要，因素乙比因素丙重要，则因素甲应当比因素丙重要，此即为符合一致性。但在实际运用中，判断矩阵经常会出现不符合一致性要求的情况。因此要对判断矩阵进行一致性检验，并对不符合一致性要求的判断矩阵进行调整，直到通过一致性检验为止。在群组层次分析法中，应当对每位专家做出的判断矩阵进行单独的一致性检验。

其次要求出最低级指标层的因素相对于总目标的重要性系数，即本例中的二级指标相对于总目标的相对权重。将单层因素的重要性系数自上而下进行合成即可求出。假设共有k个层次，其中目标层为第1层，则最低级指标层的权重向量为：

最后将多位专家独立判断的权重向量结果进行加权平均，求得最终的指标权重。

式中：λp、Wp—第 p 个专家的评判权重和指标权重向量，p=1，2，

2.3 模糊综合评判

通过问卷调查、访谈调查等方法征集多位相关领域专家学者或设计人员的意见，针对上文建立的材料选择体系对多种备选材料的指标进行等级评定[8]。对确定的某个备选方案，确定评价指标集U，单个评价指标为ui，在本例中为二级指标；然后确定评价等级集V，划分5个评价等级[9]，包括很好、好、中等、差、很差，分别标记为 v1，v2，v3，v4，v5。针对评价指标 ui做出 vk等级评定的人数为Nik，参与等级评定的人数为N，则可计算指标等级隶属度[10]为：

则评价指标对应的隶属度函数为：

评价指标集内各个指标的隶属度函数组成隶属度矩阵：

为使模糊评判结果具有较好区分度，便于比较，设定五个等级对应的标度值 X=（90，70，50，30，10）。

2.4 方案分值确定

确定指标权重及各备选方案的评价等级隶属度后，根据设定的评价等级标度值可计算出各方案分值Y，排序后可选择最佳备选方案，在本例中为最优材料。

3 实例应用

某厂家设计团队欲对某型号联合收割机变速箱齿轮材料进行选择。联合收割机一般在室外工作，灰尘较多，齿面磨损严重。进行工作时，常要承受不规则冲击与短时超载，如土地表面起伏不平等。要求联合收割机变速箱齿轮耐磨性好，有良好的耐冲击性，承载能力高。备选材料包括 45#、20CrMnTi、20MnB、40Cr、40CrNi。

3.1 指标权重确定

yaahp分析软件提供了完备的层次分析法解决方案，可以简便的建立评价体系的层次关系并直接计算出指标权重。yaahp在建立判断矩阵的同时会进行一致性检验[11]，不能通过一次性检验时软件将自行对判断矩阵进行调整。同时该软件具备群组决策分析模块，能够对多位专家的评判意见进行综合，确保结果的客观性。

本例中，依据专家学术研究水平、工作经验、阅历以及对该行业了解程度，确定参与决策的三位专家所占权重分别为0.4，0.3，0.3。将三个专家的判断信息分别输入分析软件yaahp中并设定权重。yaahp群决策分析模块，如图2所示。显示专家1的判断矩阵。yaahp中专家1的评判结果，如图3所示。最终指标权重分析结果，如表2所示。

图2 群决策分析Fig.2 Group Decision Analysis

图3 专家1评判结果Fig.3 Evaluation Results of NO.1 Professor

表2 各级指标权重Tab.2 Index Weight of All Levels

本例中，二级指标总权重矩阵为：

3.2 备选材料得分与选择

为保证最终评价结果的客观性与可行性，选择农机设计人员、相关专业高校学者等共20人组成评审团，不包括评定指标权重的三位专家。根据联合收割机工作环境，对备选材料进行比较后作出等级评定。评审团对45#作出的指标等级隶属度，如表3所示。

表3 45#指标等级隶属度Tab.3 Index Grade Membership Degree of 45#

可得45#的等级隶属度矩阵为：

根据评判结果可知，45#的机械性能相对其他材料评分较低，但其工艺性能、经济性和环境友好度评分很高。

由式（4）、式（7）、式（8）可计算出材料 45#在本例中的最终分值为 67.8824分。同理可计算出 20CrMnTi、20MnB、40Cr、40CrNi的分值分别为70.3561分、66.3215分、71.5483分、69.3321分。备选材料分值排序为 40Cr＞20CrMnTi＞40CrNi＞45#＞20MnB，最终选定的材料为40Cr。

4 结语

齿轮传动是最常见的传动方式之一，广泛应用于各类机械设备的传动装置及变速装置中。材料性能对齿轮的工作性能影响很大，因此根据工作特性及工作环境合理选择齿轮材料至关重要。选择齿轮材料不仅要考虑其使用性能，同时要根据其使用场合、使用成本等进行综合决策。群组层次分析法适用于复杂系统问题的决策，将定性问题转化为定量问题，实现了解决问题过程中的“集思广益”。分析软件yaahp的使用，使群组层次分析法的应用更加简便。模糊综合评判进一步解决评判模糊性问题，实现齿轮材料的量化评价。综合运用群组层次分析法和模糊综合评判，可以集合众人经验，使齿轮材料的选择结果尽可能的客观、合理、准确。