平行四边形存在性问题的另一解法初探

周丽霞

摘 要：图形的存在性在各地的中考题中都会有出现，构造相似三角形或者全等三角形是常规解法。但是学生对动点的图形存在性问题的解决还是有难点。本文选择平行四边形的存在性问题，依据对边平行且相等的性质，用平移的观点来解决平行四边形的存在问题。

关键词：平行四边形;平移;同向等距;异向等距

平行四边形的存在性问题主要有两类，一类是已知三个点，找第四个点;另一类是已知两个点，在特殊的位置上找两个点。无论是哪种类型，我们都可以用平移的观点进行求解。

一、已知三点找第四个点

例1：如图，已知A（-1，2），B（1，-1），C（2，1），在同一直角坐标系中找点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标。

作图找出第四个点的位置——构造平行线的交点。

对于□AD1BC，可以看作是将AC沿着CB方向平移得到的，构建关系图：

上图说明，点C经左移1个单位，下移2个单位后得到点B，则点A也是左移2个单位，下移2个单位后得到点D，因此D（-2，0）。

解法说明：利用点的平移和坐标的变化，通过上述的关系图，可以较快得出点的坐标，需要注意的是对应关系。

二、已知两点在特殊位置找另外两点

例2：如图，已知A（1，3），B（4，-1），M是x轴上的点，在y轴上找一点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，写出点N的坐标。

解答：AB作为边长，可推得MN与AB平行且相等，将线段AB在坐标系内进行平移，使端点A和B分别落在两坐标轴上，再次分为两种情况——A的对应点是N;B的对应点N。

若A的对应点N，则点B的对应点是M，建立关系图：

关系图解读：将点A移到y轴上，需向左平移1个单位，将点B移到x轴上，需向上平移1个单位，即将线段AB先向左平移1个单位，再向上平移一个单位，故x=3，y=4，即M（3，0），N（0，4）。

B的对应点N，则点A的对应点M，建立关系图：

关系图解读：将点A移到x轴上，需向下平移3个单位，将点B移到y轴上，需向左平移4个单位，即将线段AB先向下平移3个单位，再向左平移4个单位，故x=-3，y=-4，即M（-3，0），N（0，-4）。

总结：平移线段AB得到的平行四边形，另外两点的坐标遵循“同向等距”的原则，即向相同的方向平移相同的距离。

三、本方法在中考题中的应用

（浙江义乌）如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;

（2）P是线段AC上的一个動点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值;

（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在，请说明理由。

解答：（1）A（-1，0）B（3，0）;C（2，-3） （过程略）

（2）略

（3）为了解题的方便，可以去除一些与本题无关的线和点，如图所示：

①若线段AC作为边，且点A的对应点是点F，建立关系图：

易得F（-3，0）。

②若线段AC作为边，且点A的对应点是点G，建立关系图：

易得y=3，解得G1（1-，3），G2（1+，3）。根据横坐标的变化可得F（4-，0）和F（4+，0）。

③若线段AC作为对角线，点A的对应点是点F，点C的对应点是点G，容易得到G（0，-3），建立关系图：

易得F（1，0）。

综上，可得F（-3，0）、、、F（1，0）。