运用基本图、轻松解几何

傅丽娜

【摘 要】现在学生对几何题目经常无从下手，不知如何解决，本文通过对基本图的归纳和在一系列题目中的应用来探讨教学中基本知识落实的重要性。

【关键词】基本图形；中点；中线（重心）；中位线

数学教学的重要目标应该是，引导学生从学习知识走向强化数学思维和提高综合素质。在本人的初中教学中，发现有关相似三角形的问题对不少学生来说是一个难点，本文从三个基本图形及其重要结论出发来谈谈在解题过程中如何运用基本图形，轻松解几何题目。

一、基本图形

1.中點基本图和结论

已知△ABC，D是边BC上的中点，则S■=S■。

已知△ABC，D是边BC上的点，则S■：S■=BD：CD。

2.中线（重心）基本图和结论

∵G是△ABC的重心

∴AG/GD=BG/GF=CG/GE=2/1

GD：AG：AD=1：2：3

3.中位线基本图和结论

∵DE是△ABC的中位线

∴DE∥BC

DE=1/2BC

二、有关相似三角形的面积问题

题目1. 如图， ABCD中，E是BC边的中点，已知△BEF的面积为S，则△ABF的面积为（ ）

分析：相似三角形面积之比等于相似比的平方，高相同的两个三角形面积之比等于底边之比。运用基本图形一可以解决本题。

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴△ADF∽△BEF，

∴AD：BE=AF：EF，

∵E是BC边的中点，

∴BE=1/2BC=1/2AD，

∴AF：EF=2/1，

∴S■：S■=AF：EF=2/1，

∵△BEF的面积为S，

∴△ABF的面积为2S。

题目2.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若BE：BC=1：4，则S■：S■的比为（ ）

解：∵DE∥AC，

∴△ABC∽△DBE，

∴S■：S■=（BE：BC）■

∵BE：BC=1：4，

∴S■：S■=1：16，

设S■=S，则S■=16S，

∵BE：BC=1：4，

∴S■=4S，

∴S■=16S-4S=12S，

∴S■：S■=1：12。

为了让大多数学生能对已知的比值求相似三角形面积比的知识内化理解，知一题、会一片，这里又设计了一道，以此引导学生分析理解，会用基本图和基本结论。

题目3.如图，在△ABC中，点D，E分别在AC、AB上且DE∥BC，若S■：S■=2：3，则S■：

S■=（ ）

三、有关相似三角形线段之比的问题

题目4. 如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED=1：3，BE的延长线交AC于F，则AF：FC=（ ）

A.1：3 B.1：4 C.1：5 D.1：6

学生第一次做这个题目基本没有思路，常规的都是找三角形相似，对平行线所夹线段成比例忽略，如果想到平行线，那么过中点做平行线就变得常规，可以构造出中位线模型的基本图。

分析：作DH∥BF交AC于H，据三角形中位线基本图形得到FH=HC，根据平行线分线段成比例定理得到AF：FH=AE：ED=1：3，计算得到答案。

解：作DH∥BF交AC于H，

∵AD是△ABC的中线，∴FH=HC，

∵DH∥BF，

∴AF：FH=AE：ED=1：3，

∴AF：FC=1：6 答案选择D

题目5.如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，则FG：AG是（ ）

A.1：4 B.1：3 C.1：2 D.2：3

分析：两条中线的交点不能只想着重点，还必须想到重心，因为重心分中线为1：2的两条线段，考虑是否能用到这边题目中，而已知EF∥BC想到三角形相似或平行线所夹线段成比例，正好可以得到FG：DG=EG：BG=1：2。

解：∵△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，

∴点G是△ABC的重心，

∴DG：AG=EG：BG=1：2，

∵EF∥BC，

∴FG：DG=EG：BG=1：2，

∴FG：AG=1：4，所以A选项是正确的。

题目6.如图，在△ABC中，中线BE与CD相交于点O，连接DE，下列结论：①DE：BC=1：2；②S■：S■=1：2；③AD：AB=OE：OB； ④S■：S■=1：3。其中正确的个数有（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

本题主要考查三角形的基本概念和相似三角形的判定与性质。

①项，因为BE、CD均为中线，所以D，E分别为AB，AC的中点，所以DE为△ABC的中位线，所以DE=1/2BC，所以DE：BC=1：2。故①项正确。

②项，因为DE是中位线，所以DE∥BC，DE=1/2BC，所以△DOE∽△BOC，S■=（DE/BC）■=（1：2）■=1：4，所以故②项错误。

③项，因为△DOE∽△BOC，所以OE：OB=1：2，又因为AD：AB=1：2，所以AD：AB=OE：OB，故③项正确。

④项，因为△ABC的中线BE与CD交于点O，所以点O是△ABC的重心，根据重心性质可得，OB=2OE，根据基本图形一S■：S■=OE：OB=1：2，S■：S■=1：3，因为D为中线，所以S■=S■，所以S■：S■=1：3。

所以正确的有3个，选择答案C。

四、解题反思

由上面几个例题可以看出，在看到中点、中线、中位线时借助模型可以出现很多结论。在三角形相似问题中，学生要学会通过找基本图形解决问题。学会充分挖掘题目条件，注重问题本质和通性通法的探究和注重解题策略的探究。

学生的学习是从自己已有的知识和经验出发的一种自主构建的过程。教学中无论是新课还是复习，必须研究学生，当学生思维受阻或解决问题遇到困难时，教师作为数学学习的组织者，引导者和合作者，应多思考问题出在了哪里，教学要遵循学生学习数学的心理规律，从学生已有的知识和视镜情况出发，将问题分解，更应该在落实基础知识的前提下，给学生适当补充一些激化思维、提升能力、锻炼学生应用知识及创新发展的问题。对课本内容进行二次开发，对有深层联系的知识进行重组整合，使之成为有效促进学生深度学习的载体，让学生经历数学知识的发生发展的过程，从而体验到自己是知识与结论的探索者、发现者，这样既活化了知识，又促进了思维的发展。

【参考文献】

[1]初中数学教与学