高中数学教材人教A、B版三角函数内容的比较

张濡川 郑秀

【摘要】2003年4月，教育部向全国各个省份颁布《普通高中数学课程标准（实验）》这一标准，全国各省份统一在2004年正式开始进行新一轮高中课程改革，在《新课标》的基本理念和要求下有五套教材通过审定.本文的研究将选择人民教育出版社A版、B版教材，这两个版本中三角函数这部分内容进行对比研究.

【关键词】三角函数；人教A版教材；人教B版教材；比较

一、任意角三角函数概念引入的比较

任意角三角函数定义方法有单位圆定义法和终边坐标定义法，具体内容如下：

（一）单位圆定义法

如图1所示，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么：（1）y叫作α的正弦，记作sinα，即sinα=y；（2）x叫作α的余弦，记作cosα，即cosα=x；（3）yx叫作α的正切，记作tanα，即tanα=yx（x≠0）.

图1

图2

（二）终边坐标定义法

一般地，设α是一个任意角，P（x，y）是终边上的任意一点，P与原点的距离为r，如图2所示.那么，（1）比值yr叫作α的正弦，记作sinα，即sinα=yr；（2）比值xr叫作α的余弦，记作cosα，即cosα=xr；（3）比值yx叫作α的正切，记作tanα，即tanα=yx.

人教A版和人教B版都是从学生在初中所学习过的直角三角形中的锐角三角函数引入的，不同点在于人教A版在任意角三角函数的引入部分采用了以下方式：（1）直角三角形为载体的锐角三角函数；（2）象限角为载体的锐角三角函数；（3）单位圆上的点表示锐角三角函数；（4）任意角的三角函数.在定义上采用的是单位圆定义法.[1]人教B版在引入部分则采用了以下方式：（1）复习锐角三角比值；（2）比值与终边上点的选取无关；（3）任意角的三角函数定义.在定义方式上采用的是终边坐标定义法.

这两种定义方式曾在学术界引发争鸣，章建跃认为单位圆定义法更加合适用于任意角三角函数的定义，并从三角函数的特殊性质、知识结构、历史发展和后续学习四个方面来解释“单位圆定义法”的优势.而孙孜、涂荣豹等从历史发展，概念本质，认知规律，便于解题等方面阐述“终边坐标法”更适用的依据.[2]

这两种方法在任意角三角函数的定义上各有优势，单位圆定义法能够清晰地展现三角函数的周期性，并且能够从图像上直观地看出三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等基本性质，有利于学生直观想象素养的提高.终边坐标定义法更符合三角函数的形成和发展，采用比值定义的形式更能够反映出任意角三角函数的本质.并且终边坐标定义法从学生初中所学过的锐角三角函数入手，以此为过渡，符合学生认知发展规律，使学生更容易接受和理解.在实际教学中可以根据具体情况结合这两种方式，取长补短，合理地选择教学策略.

二、三角函数公式和定理引入的比较

人教A版采用的引入方式为：（1）由电视塔的高度引出任意角的两角和与差三角函数值的思考；（2）特例验证猜想公式.证明方法采用三角函数线和向量法.人教B版则是直接给出公式，并用向量法證明.

相比之下人教A版教材更为重视公式的引入，教材首先通过实际的例子明确提出了要探索的问题，再通过推翻学生凭直觉易得出的式子，最后推导证明公式.人教A版在阅读材料方面有探究与发现、思考，这些阅读材料安排在教科书中，对学生思维的发展，提有很大的帮助.学生们可以通过阅读这些材料，了解到更多的课外知识.

相对来说，人教B版教材就是最直接的，没有公式的引入和探究过程，直接给出公式，再对公式进行证明.这种方式对于理解能力较弱的同学有一定的难度，很难真正理解公式，难以做到灵活运用.[3]

三、三角函数图像变换的教学内容比较

观察图像是学习函数性质的最佳方法，函数图像能够直观地反映出函数的性质.本文选取函数y=Asin（ωx+φ）的图像为研究图像变换的对象.通过比较可以得出，两个版本知识点的含量是相同的，但在知识点呈现的顺序上有所不同.人教A版开篇就来探索参数A，ω，φ对函数y=Asin（ωx+φ）的影响，三个参数探索完毕后，再指出振幅、周期、频率等物理量的命名.[4]这种顺序安排方式，信息容量比较大，学生学习起来比较吃力，很难理解.人教B版在学习正弦函数后，紧接着给出了正弦型函数，并简单说明周期、频率的含义，再以例题的形式分别探究参数A，ω，φ对函数y=Asin（ωx+φ）的作用，在每个参数单独探讨后再给出相应的名称.这种顺序的安排，层次比较清晰，相对降低了理解的难度.

四、总 结

通过本文的比较分析，两个版本的教材在教材体例，教材内容选取，教材难度上基本一致.在教材编写特色方面，人教A版较为突出，真正体现了“以学生的发展为主体”的教学理念.人教B版教材的内容编排应试观念较突出，没有体现应用数学知识解决实际问题的理念，并且教材习题量过大，在一定程度上造成了学生的负担.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]杜蕊.人教A版与B版高中数学教材比较研究[D].福建师范大学，2014.

[3]人民教育出版社课程教材研究所，中学数学教材实验研究组.普通高中课程标准实验教科书·数学4必修A版[M].北京：人民教育出版社，2004.

[4]人民教育出版社课程教材研究所，中学数学教材实验研究组.普通高中课程标准实验教科书·数学4必修B版[M].北京：人民教育出版社，2009.