洛必达法则解未定式极限及其误区

张少波

【摘要】结合在洛必达法则教学中发现的问题，通过实例阐述洛必达法则解未定式极限的方法、技巧以及应用中存在的一些误区，以便更好地使用洛必达法则求极限.

【关键词】极限；洛必达法则；误区

求极限是高等数学中相当重要的一部分内容，而洛必达法则在解未定式极限中发挥了很大的作用，很多学生在使用洛必达法则时不够灵活，甚至由于对定理认识不足而忽略了其使用的条件，下面通过实例来讨论使用洛必达法则的方法和需要注意的问题.

一、00及∞∞型未定式

在文献[1]中定理6.6及定理6.7给出了洛必达法则及其证明，它是导数的一个应用，是对00及∞∞型未定式極限的解法，下面通过例子说明其应用.

例1 求 limx→0ex-1sinx.（00型未定式）

解 limx→0ex-1sinx=limx→0（ex-1）′（sinx）′=limx→0excosx=1.

例2 求 limx→+∞x3ex.（∞∞型未定式）

解 limx→+∞x3ex=limx→+∞（x3）′（ex）′=limx→+∞3x2ex（为∞∞型未定式）

=limx→+∞6xex（为∞∞型未定式）

=limx→+∞6ex=0.

例2说明，洛必达法则在求极限时，只要满足条件，可重复使用.

二、其他类型的未定式极限

未定式的类型还有0·∞、∞-∞、00、∞0、1∞等，在此不一一举例，对于此类未定式，我们一般可以将其转化为00或∞∞型，再用洛必达法则求解.

例3 求 limx→0+xlnx.（0·∞型未定式）

解 limx→0+xlnx=limx→0+lnx1x（转化为∞∞）=limx→0+1x-1x2=limx→0+（-x）=0.

应用洛必达法则，首先未定式应为00或∞∞型的商的形式，如例3这种乘积形式的未定式，我们先将其转化为商的形式，即00或∞∞，再用洛必达法则求解.

例4 求 limx→0+（sinx）x.[2]（00型未定式）

解 limx→0+（sinx）x=limx→0+exlnsinx（变形后，指数为0·∞型未定式）=limx→0+elnsinx1x（指数部分化为∞∞）=elimx→0+cosxsinx-1x2（洛必达法则）=e-limx→0+xsinx·x·cosx=e0=1.

如例4中幂指函数类型的未定式求极限，我们一般可先利用恒等变形uv=evlnu将其化为指数为乘积的形式，再将指数转化为00或∞∞型，最后用洛必达法则求解.

三、应用洛必达法则的误区

1.部分学生在学习了洛必达法则后，见到分式的极限，不考虑是否为00或∞∞型未定式，就盲目地使用洛必达法则求解，这其实是忽略了洛必达法则的条件1.

例5 求 limx→2x3+2x2（x-2）2.

错解 limx→2x3+2x2（x-2）2=limx→23x2+4x2（x-2）=limx→26x+42=8（用两次洛必达法则）.

正解 由于limx→2（x-2）2x3+2x2=016=0（带入计算），

所以limx→2x3+2x2（x-2）2=∞（无穷小与无穷大的关系）.

2.使用洛必达法则时，发生本质性的错误.个别学生在用洛必达法则时对整个分式求导数，没有搞清楚洛必达法则的结论.

比如，在解例1时出现这样的错误解法：

limx→0ex-1sinx=limx→0ex-1sinx′=…

洛必达法则在满足条件时，应通过分子、分母分别求导，再求极限来确定未定式的值.

3.遇到00或∞∞型未定式极限时，认为洛必达法则一定可以应用，忽略了定理中的条件3，从而盲目地得到错误的结果.

例6 求 limx→∞x+sinxx.[3]

错解 limx→∞x+sinxx=limx→∞（x+sinx）′x′=limx→∞（1+cosx）=…

在上面的解法中，原极限虽然是∞∞型，但求导后的极限limx→∞（1+cosx）是不存在的，也不是无穷大量，不满足洛必达法则的条件3，因此，不能用洛必达法则求解.

正解 limx→∞x+sinxx=limx→∞1+sinxx=1.

例6说明在使用洛必达法则求极限时要时刻关注分子、分母分别求导后的极限是不是常数A或无穷大量，若不是，则洛必达法则不能使用.

4.求极限过程中只考虑洛必达法则，忽略其他极限方法，从而导致解题烦琐.

例7 求 limx→0ex2-1-x2x3sinx.（00型未定式）

解法一 limx→0ex2-1-x2x3sinx=limx→02xex2-2x3x2sinx+x3cosx

=2limx→0ex2-13xsinx+x2cosx

=2limx→02xex23sinx+5xcosx-x2sinx

=2limx→02ex2+4x2ex28cosx-7xsinx-x2cosx=12（代入0）.

解法二 limx→0ex2-1-x2x3sinx=limx→0ex2-1-x2x4=limx→02xex2-2x4x3

=limx→0ex2-12x2

=limx→02xex24x=limx→0ex22=12.

上面两种解法都正确，但解法一反复的利用洛必达法则将极限式变得很烦琐，计算中容易出现错误，且解题过程很长，而解法二首先利用等价无穷小代换将分母变得简单，再用洛必达法则求解，比解法一简便很多.因此，在用洛必达法则解未定式极限时，不能一直盯着洛必达法则，要结合其他方法使计算简便.

四、结 语

洛必达法则是求极限的一种重要工具，但其不是万能的，在使用过程中应注意是否满足条件，再根据题目结合其他求极限的方法灵活运用，才能更好地使用洛必达法则.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析：上册[M].第三版.北京：高等教育出版社，2001：127-129.

[2]王建林.高等数学及其应用[M].北京：中国农业出版社，2012：100.

[3]同济大学数学系.高等数学：上册[M].第七版.北京：高等教育出版社，2014：137.