煤炭开采行业（平煤集团）数学模型分析

赵晓艳

【摘要】本文首先介绍了平煤集团的现状，然后进行了问题分析，接下来针对平煤集团实际数据拟合出成本函数曲线，接下来对成本函数和利润函数进行了边际分析，并且举出实例，分析了边际函数的经济学意义.进而对求得的利润函数进行弹性分析，并分析了经济函数的弹性的经济学意义.最后我们讨论函数f（x）和实际问题中求函数的最值的方法和步骤，针对函数f（x）最值求法我们列举出了具体实例，充分阐述了函数最值的求法.最后利用上述方法求出利润函数的最值.我们可以依此给出企业发展的策略，进而企业可以合理安排资源，充分降低成本，获得最大利润.

【关键词】成本函数；利润函数；弹性分析，拟合；最值

平顶山煤业集团又名平煤集团，此集团是由原平煤集团和平顶山神马集团重组而成的一家国有大型企业集团.此集团隶属河南省人民政府，旗下拥有两家上市公司、两个国家级技术中心和博士后工作站，是国内品种最全的炼焦煤、动力煤生产基地，亚洲最大的尼龙化工生产基地.平顶山煤业集团整合了平顶山六六盐厂、平顶山神马帘子布厂、平顶山洗煤厂等大型企业.平顶山煤业集团拥有强大的雄厚实力，解决了几十万平煤职工的就业问题，对平顶山经济的发展做出了很大的贡献，经过初探，煤炭面积达3 000平方千米，煤炭储量150亿吨，特别是无烟煤产量，对于河南省煤炭行业发展甚至全国煤炭行业发展和经济发展都有巨大的意义.

截至2016年12月31日，平煤集团实现税前利润772 244 964.42元，给国家上缴税款19 989 963元.平煤集团拥有生产、研发、制造部门，拥有煤矿开采、煤矿加工等生产企业，给全市经济发展创造了巨大的利润.平煤集团是全市经济发展的强大后盾.

一、符号说明

C：成本；R：收益；L：利润；Q：销售量.

二、问题分析

平煤企业一直是平顶山市发展的重要工业支撑，有着几十万职工，因此，平煤企业的发展存亡对于城市发展乃至全市人民生活息息相关.但是近几年，由于种种原因，煤炭行业开始走低，我们必须制订出一系列政策和措施提高煤炭产量的同时，注重企业利润的提高.我们想从平煤历年销售量、销售额、成本等数据中拟合出成本曲线，进而得到利润函数，然后结合经济数学中一些知识，对利润函数进行分析，分析其边际利润函数，以及对其进行弹性分析、对其分析结果进行分析，进而制订出满足企业要求和能促使企业长足发展的政策和策略.

我们以平煤五矿数据为基础，拟合出成本函数曲线.C（Q）=3000+350x+0.03x2（百元），无烟洗精煤Q6500A93V728S039含税价620元.瘦煤喷吹煤Q6100S0.4V12.5A12.5HGI>70含税价550元.我们以生活中常用的无烟洗精煤为例，每吨煤的出厂价为550元.

三、经济函数分析

经济函数学习是经济管理系学习专业课的基础[1]，包括需求函数、供给函数、成本函数、收益函数、利润函数等一系列函数，研究经济函数的性质对于企业发展有着至关重要的意义.比如，需求函數是关于价格的函数，价格是影响需求量最重要的因素，需求函数根据企业具体情况可以拟合为一次函数或者二次函数，也可能是其他函数[2]，并且需求函数关于价格是单调递减的.供给函数虽然也是关于价格的函数，但是关于价格是单调递增的，具体形式根据具体情况而定.需求函数和供给函数相等叫作供需平衡，成本函数分为固定成本和可变成本两部分，成本函数是关于产量的递增函数.利润函数是由收益函数减去成本函数得到的，对于企业来说，研究需求函数[3，4]、供给函数等经济函数，对于控制成本、获得最大的利润有着非常重要的意义.

（一）边际利润函数

边际函数的经济学意义：我们以成本函数C（Q）为例，边际成本函数即为C′（Q），表示产量为Q时，成本函数C（Q）对产量Q的变化率，进一步解释为：当产量为Q时，如果再增加或者减少一个单位产量，总成本C（Q）增加或者减少的数量.例如，C′（15）=3，表示当产量为15时，此时再增加或者减少单位产量，总成本增加或者减少3.因此，经济函数边际分析对于控制企业中成本，增加企业利润等都有很重要的现实意义.

边际成本为C′（Q）=350+0.06Q，可得C′（100）=356，其经济学意义为当煤的产量为100时，煤成本增加值为356，依此，我们可以通过经济函数的边际函数分析控制成本，进而给出最适合的经济策略，提高企业利润.

因为收入函数R（Q）=530Q，成本函数C（Q）=3000+350Q+0.03Q2.

因此，利润函数L（Q）=R（Q）-C（Q）=530Q-（3000+350Q+0.03Q2）=-0.03Q2+180Q-3000，

边际利润函数为L′（Q）=-0.06Q+180，

L′（Q）|Q=2850=L′（2850）=9，

L′（Q）|Q=3000=L′（3000）=0，

L′（Q）|Q=3050=L′（3050）=-3.

上述结果表明，当每个月销售量为2 850吨时，利润的变化率为9，从边际函数的经济学意义来说，当销售量为2 850吨时，再多销售1吨煤，利润会增加900元，当月销售量为3 000吨时，再多销售1吨，利润增加值为0，即没有利润.当月销售量为3 050吨时，再多销售1吨，利润将减少300元.因此，研究边际利润对于煤炭行业意义重大，可以从边际利润函数控制煤炭销售量，从而提高企业利润.

（二）弹性分析

弹性是一个相对变化率问题，它主要反映的是当自变量变化时，相应的函数f（x）变动对自变量x变动的敏感程度.弹性定义：弹性函数f（x）的弹性函数为E（x）=xf′（x）f（x），此弹性计算公式用到不同函数上即产生不同的弹性函数，比如，此函数用到需求函数称需求弹性，用到供给函数上叫作供给弹性.弹性|E|<1，函数f（x）对自变量x低弹性；当|E|>1，函数f（x）对自变量x高弹性；当|E|=1，函数f（x）对自变量x为单位弹性.弹性函数的经济学意义，拿需求函数Q=Q（P）为例，当价格为P时，若价格提高或者降低1%，需求量则由Q减少或者增加|E|%.边际函数：边际的概念实质上是导数在经济学上的定义，导数定义中，导数是函数对自变量的变化率，边际函数是经济函数的导函数，是对自变量的绝对变化率.

Ed=QL′（Q）L（Q）=Q-0.06Q+180-0.03Q2+180Q-3000.

当Q=2 850时，Ed=0.096，当销售量增加或者减少1%时，利润将增加或者减少0.096%.

当Q=3 000时，Ed=0，当销售量增加或者减少1%时，利润将不变.当Q=3 050时，Ed=0.034，当销售量增加或者减少1%时，利润将增加或者减少0.034%.因此，弹性分析对于企业利润分析有非常大的现实意义，可根据弹性分析控制企业生产销售情况，并依此得到利润分析情况表，对于企业厂房、工人等的安排有非常大的参考价值.

（三）求函数最值

函数最值求法分为两大类[5]，第一类为：具体函数f（x）在闭区间的最值，第二类为实际问题中函数最值.其中第一类最值问题函数f（x）在闭区间的最值可分为两大步骤：1.求点：求f（x）的驻点、不可导点、端点；2.将驻点、不可导点以及端点代入原函数f（x）比较大小，值最大的就是最大值，值最小的就是最小值.例如，y=x3-3x+2在[1，2]上的最大值.我们可以先求y′=3x2-3，然后求得y′=0，求得驻点x1=0，x2=1，没有不可导点，端点为1，2，因此，符合条件的点有三个0，1，2.代入原函数f（0）=2，f（1）=0，f（2）=4.因此，函数f（x）的最大值为4，最小值为0.实际问题中求函数最值的步骤为：1.先求出目标函数以及定义域；2.求出函数的导数，进而求出驻点，如果符合题意的点只有一个，那么这个点就是我们所求的极值点，也即是题中所求最值点，代入原函数求出最值.下面我们依此方法求利润函数的最值.

我们拟合出的利润函数L（Q）=R（Q）-C（Q）=530Q-（3000+350Q+0.03Q2）=-0.03Q2+180Q-3000，由L′（Q）=-0.06Q+180=0，可得Q=3 000，所得符合条件的点只有一个，因此，这个极值点即为所求最值点，当Q=3000时，利润函数取得最大值，下面我们求利润函数的最大值L（3000）=-0.03×30002+180×3000-3000=267000，从此结果可得当Q= 3 000时，利润取得最大值，为267 000.由此我们可以整合企业资源，制订合理的措施使企业获得最大利润.

四、小结

本文主要内容为研究平煤集团现状，利用数理统计知识拟合出成本函数曲线，进而求出利润函数，并建立数学模型求出边际成本、弹性分析以及企业利润的最大值，从而为企业控制成本，增加利润制订出合适的策略做出贡献.

【参考文献】

[1]同濟大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]盛骤.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]李忠，周建莹.高等数学[M].北京：北京大学出版社，2009：65.

[4]韩中庚.数学建模实用教程[M].北京：高等教育出版社，2012.

[5]刘忠东，罗贤强，黄璇，吴高翔.高等数学[M].重庆：重庆大学出版社，2015.