寒区弧底梯形衬砌渠道冻胀破坏的尺寸效应研究

王正中，刘少军 ，王 羿 ，刘铨鸿，葛建锐

（1.西北农林科技大学 旱区寒区水工程安全研究中心，陕西 杨凌 712100；2.西北农林科技大学 旱区农业水土工程教育部重点实验室，陕西 杨凌 712100）

1 研究背景

我国寒区季节冻土与多年冻土分布广泛，冻土基础上的衬砌渠道由于基土冻胀及衬砌混凝土板抗拉强度低等原因，使大量渠道衬砌产生不均匀冻胀破坏、开裂及严重渗漏，这不仅达不到防渗目的而且还形成渗漏-冻胀破坏的恶性循环，直接影响着经济效益及工程运行［1］；弧底梯形渠道因其底部呈反拱，整体结构受力条件好，冻胀力分布均匀，结构复位能力强，水力性能优越等优点，已广泛应用于旱寒灌区［2-3］。近年来，相关学者对冻土理论研究趋于成熟，并且明晰了冻土冻结及水分迁移的机理［4-5］。基于此，国内学者开展了混凝土衬砌渠道冻胀破坏研究工作，王正中等通过恰当假设，提出了力学概念清晰的梯形［6］、弧底梯形［7］混凝土衬砌渠道冻胀破坏工程力学模型，为衬砌渠道抗冻胀设计提供了简明量化方法；随后基于冻土分凝冰分布特征对其力学特性影响机理，建立了考虑冻土弹性模量及泊松比随温度、水分和应力变化的横观各向同性非线性本构模型，以土体负温膨胀系数描述冻土冻胀系数，考虑冻土与建筑物协调变形对其整体进行了冻胀破坏数值模拟［8］。但以上研究尚未考虑地下水位对渠道冻胀破坏形式的影响，为此，石娇［9］和孙杲辰等［10］建立了高地下水位弧底梯形混凝土衬砌冻胀破坏断裂力学模型，肖旻等［11-12］建立了考虑地下水位影响的现浇混凝土梯形渠道冻胀破坏弹性地基梁模型，在以上工程力学模型及数值模型基础上，Li［13］、刘旭东［14］、李爽［15］、刘月［16］等对衬砌渠道冻胀过程进行了数值仿真模拟，表明有限元软件能够较准确地模拟渠道冻胀规律。但上述力学模型和数值模拟大多从地下水埋深、冻深或渠深等单因素对渠道冻胀破坏的影响进行研究，均未全面系统研究衬砌渠道冻胀破坏的综合尺寸效应即“三深”对渠道冻胀破坏形式的综合影响，不能全面真实反映渠道的冻胀破坏规律。

为研究“三深”对渠道冻胀破坏形式的综合影响，以寒区工程中最常用的弧底梯形衬砌渠道为例，基于冻土水热力三场耦合理论，考虑冻土与未冻土之间的相变传热［16］以及水分迁移形成的冰透镜体冻胀机理［17］，运用多场耦合软件COMSOL Multiphysics对不同冻深、不同渠深及不同地下水埋深的弧底梯形衬砌渠道冻胀过程进行数值模拟，着重分析其应力场和位移场，旨在探求不同尺寸关系下渠道衬砌拉应力极值位置，明晰不同尺寸关系下衬砌渠道冻胀破坏形式。据此，提出相应尺寸关系下弧底梯形渠道的抗冻胀设计方法及合理设缝建议，从而为寒区渠道防冻胀设计提供参考。

2 渠基冻胀模型及分析方法

2.1 渠基冻胀过程及基本假设渠道冻胀变形本质上是渠基土体冻胀变形及土体-衬砌结构相互作用的结果，因此准确合理分析渠基土冻胀过程是研究渠道冻胀破坏机理的前提。首先渠基土在负温下冻结，内部原有孔隙水结冰从而冻结区水分自由能降低［17］，随后未冻区水分持续向冻结区迁移并结冰，最后冻结区原有孔隙水及迁移水成冰体积膨胀超过土孔隙总体积而撑开土体形成透镜状冰层造成土体膨胀［18］。为分析衬砌渠道冻胀过程，基于以上物理过程进行适当假设如下：（1）渠基上方无荷载作用，土孔隙水冻结负温区间为-1～0℃，即冰水相变在该区间内完成，相变潜热均匀释放；（2）未冻区水分迁移和冻结过程缓慢，且发生于冻结锋面与暖端分凝冰下方的冻结缘区域，近似满足热力学平衡，温度与孔隙水压力关系满足Clapeyron方程［19］；（3）未冻区迁移水分全部成冰且放出潜热，但不考虑水分向冻结缘迁移带来的热量；（4）冰透镜体呈带状且与温度梯度方向垂直，因此假设土体冻胀方向与温度梯度方向平行；（5）渠道顺水流方向较长，且假设该方向上土体物理参数相同，故以渠道横断面为研究对象进行冻胀分析时，满足二维平面应变问题［20］。

根据以上假设，建立相应的数学物理控制方程。

2.2 考虑相变的热流传导控制方程二维非稳态热传导控制方程如下：

式中：T为温度；ρ、ρi分别为渠基土和冰密度；Cp为渠基土比热容；t为时间；λ为材料导热系数；θi为冻结缘区冰含量；L为水-冰相变潜热。

冻结缘冰含量增加由两部分组成，一部分为原位水分成冰，另一部分为迁移水分成冰，其表达式为：

式中：θin、θout分别为原位孔隙冰含量和迁移水结冰量；θw为原位孔隙水含量；v为水分迁移速度。

将式（2）—（4）代入式（1）可得：

式中，Ceq为与原位水冻结相变潜热相关的等效体积热容，表达式为［21］：

2.3 冻结区水分迁移控制方程研究表明，土壤冻结区土颗粒与冰颗粒之间依然存在少量未冻水薄膜［22］，未冻水与冰处于动态平衡状态，未冻水薄膜水压力与冰压力之间满足Clapeyron方程。即：

式中：T0为水结冰温度；uw、ui分别为薄膜水压力和冰压力。

本文不考虑渠道上覆荷载，故dui取值为0，式（7）可以简化为：

式（8）即冻结区水分迁移的驱动力方程。在渠基内，距离地下水位较近处土体含水量近似饱和，水分迁移符合饱和土渗流规律，水分补给及时且量大，分凝冰厚度相应大，冻胀剧烈；而在较远处，土体处于非饱和状态，水分迁移符合非饱和土渗流，迁移量小且冻胀量可以忽略。因此本文不考虑距离地下水位大于毛细水上升高度的渠基土冻结时的水分迁移，小于等于毛细水上升高度的渠基土内水分迁移按饱和土渗流情况处理。这种处理所得冻胀量符合《水工建筑物抗冰冻设计规范》［23］中土体冻胀量的现场实测规律。据此，可以得到距离地下水位小于等于毛细水上升高度的渠基土冻结区水分迁移控制方程［24］：

式中：k0为未冻土渗透系数；β为试验参数；ysep为冰透镜体位置高度。

当冻结区迁移水分全部相变成冰，则式（9）中第一项为0。

2.4 应力应变控制方程渠基土冻胀变形过程，满足固体力学平衡微分方程、物理方程和几何方程，冻胀量描述以物理方程中的初始应变表示。

平衡微分方程

物理方程

几何方程

以初始应变描述二维平面渠基冻胀过程，根据2.1节的基本假设，首先定义温度梯度方向上的初始应变（如式14），然后进行坐标变换，以x，y坐标平面上的初始应变表示（如式（15））：

当T＜0℃时，

式中：εgrandT为初始应变；θv为渠基土初始孔隙率；l、n分别为温度梯度向量的方向余弦。

式（5）、式（9）、式（11）和式（14）组成渠基土冻胀的水、热、力三场耦合模型的控制方程。

3 有限元模型及参数选取

3.1 有限元模型计算及参数选取根据恒温层深度，近似取渠顶以下10m作为恒温层［25］，渠顶各向两边延伸1.5 m作为模型左右边界，考虑工程施工要求及计算方便，对不同尺寸关系渠道的衬砌板厚度均近似取为10 cm。有限元分析软件COMSOL Multiphysics通过求解偏微分方程实现对物理现象的仿真计算，其数学方程中涉及的材料属性参数和边界条件可以是常数、变量及逻辑表达式等，这些参数和表达式均可以通过COMSOL接口修改［26］；同时，用户也可以通过添加自定义的偏微分方程（PDEs），指定其与其他方程之间的数学关系，实现耦合计算，因此COMSOL Multiphysics在多物理场耦合方面具有明显优势。根据上述渠基冻胀模型及分析方法，本文通过在传热控制方程添加热源项（如式5）表征水分迁移所产生的相变潜热量，实现考虑相变及迁移水放热的热传导方程；在固体力学模块自定义初始应变偏微分方程（如式14）表征基土应变量，实现力学控制方程。据此，应用COM⁃SOL Multiphysics进行多物理场一体化建模耦合分析，有限元网格如图1。

图1 渠道有限元网格

表1 兰州黄土弹性模量

根据上述假设，取混凝土衬砌弹性模量为2.4万MPa，未冻土弹性模量为15 MPa，选取具有代表性且冻胀敏感性强的兰州黄土作为基土，其属于粉质黏土，弹性模量随温度变化［8］，取值见表1。本文重点分析地下水埋深、冻深及渠道规模三者综合影响下渠道的冻胀破坏形式，结合实测资料和参考文献［16，27］，其他材料物理力学参数取值见表2。

本文采用等效原理分别定义冻土相（以下标“f”表示）和融土相（以下标“m”表示）的热物理参数。其中冻土相由冰相、土颗粒相和空气相组成，融土相由水相、土颗粒相和空气相组成（分别以下标“i”，“s”，“a”，“w”表示），两相的转变并非在温度达到冻结点时尽数完成，而是在一个范围内逐步进行，所以引入相变温度Tf=-0.5℃、相变区间Tc=1℃和融土相体积分数η3个变量，当温度小于Tf-Tc/2时为冻土区，大于Tf+Tc/2时为融土区，在此之间为相变区，在此区域内η为温度T的函数［28］。冻土与融土间相变转化潜热量与土体含水量相关，为纯水相变与土体质量含水量的乘积。根据以上定义，各项热物理参数定义方程如下：

相应材料热参数定义如表2所示。

表2 材料计算参数

3.2 边界条件确定温度边界条件：上边界采用对流热通量温度边界，热通量传导方程采用牛顿冷却定律。表达如下：

式中：n为渠道边界法向向量；hc为对流热交换系数，本文取28 W/（m2·K）；Tamb为外部环境温度；T为边界计算温度。

下边界恒温层取多年平均地温8℃［25］，左、右边界为热绝缘边界。

位移边界条件：上边界为自由边界；左右边界水平位移为0；下边界竖向位移为0。

3.3 模拟计算方案由于地下水埋深、基土冻深和渠深三者共同影响渠道冻胀破坏，无法对其进行单变量分析。为此，本文基于毛细理论和基土冻深Zd、地下水埋深Zw、土层毛细水上升高度Hcap、渠深H、渠道圆弧段深度h之间的尺寸关系，将渠道冻胀合理地分为封闭系统、半开放系统和开放系统三种类型（如图2）。

图2 Zd、Zw、Hcap、H和h关系

类型Ⅰ：Zd+Hcap＜Zw，地下水埋深较深，水分不能通过毛细作用向冻结锋面迁移，水分迁移量很少且迁移速度缓慢，渠基土以原位水冻结为主，冻胀量较小，此时为封闭系统下渠道正冻土的水分迁移，即渠道冻胀封闭系统。

类型Ⅱ：Zw＜Zd+Hcap＜Zw+h，地下水埋深稍浅，水分可以通过毛细作用不断向冻结锋面迁移，但仅能补给至渠道圆弧段以下，渠道圆弧段以下发生强烈冻胀，而渠坡基本无水分迁移，此时为弧底梯形渠道冻胀半开放系统。

类型Ⅲ：Zd+Hcap＞Zw+h，地下水埋深浅，水分可以通过毛细作用不断向冻结锋面迁移，迁移水分可补给至渠基全断面，渠道全断面产生强烈冻胀，此时为弧底梯形渠道冻胀开放系统。

为了全面地反映地下水埋深、冻深及渠深综合影响下弧底梯形渠道冻胀破坏形式的异同，本文定义α为冻深与渠深的比值，1∶m为渠道坡比，依据《GB/T50600-2010渠道防渗工程技术规范》［29］，寒区混凝土衬砌渠道对大型渠道拟采用抗冻胀能力强的宽浅式断面，对农田小型渠道为了省地采用窄深式断面。因此，本文采取以下计算方案，即分封闭系统、半开放系统、开放系统三种类型，随着渠道规模不断增大即冻深与渠深比值不断减小，α=1，0.6，0.3，0.15；同时渠坡逐渐变缓，m=0.5，1，1.5，2。以弧底梯形衬砌渠道为例进行冻胀数值模拟，共计3×10=30种组合方案，见表3。

表3 模拟组合方案

4 渠道冻胀计算结果分析

通过对不同α、不同m组合下的弧底梯形衬砌渠道冻胀模拟结果分析比较，最终给出了3种不同冻胀系统下，α=1、m=0.5，α=0.6、m=1，α=0.3、m=1.5及α=0.15、m=2共4种具有典型性和代表性的弧底梯形渠道（如表3下划线部分）衬砌板法向冻胀量及其横截面正应力分布图。为更直观地理解弧底梯形渠道衬砌冻胀破坏的尺寸效应，根据《SL252-2017水利水电工程等级划分及洪水标准》［30］，结合水利水电工程分等指标划分标准，本文将1、2级渠道定义为大型渠道，3级渠道为中型渠道，4、5级渠道为小型渠道。依据《GB/T50600-2010渠道防渗工程技术规范》［29］计算弧底梯形渠道实用经济断面水深，大型渠道为5～6 m，中型渠道3～3.5 m，小型渠道1～1.5 m。同时，北方旱寒灌区冻深一般为0.8～1.4m［23］。依据《GB0288-99灌溉与排水工程设计规范》［31］，为保证渠道边坡稳定，大型渠道宜采用较缓边坡，小型渠道可采用较陡边坡。据此，“α=1、m=0.5和α=0.6、m=1”为小型渠道，“α=0.3、m=1.5”为中型渠道，“α=0.15、m=2”为大型渠道。

4.1 法向冻胀量分布3种类型衬砌法向冻胀量比较分别见图3—图5。

图3 类型I衬砌法向冻胀量比较

图4 类型Ⅱ衬砌法向冻胀量比较

从图3可以发现，对于封闭系统渠道整体法向冻胀量较小，这是由于此时主要为原位水冻结，水分迁移量较小，产生冻胀量也较小。对（α=1，m=0.5和α=0.6，m=1）边坡较陡的小型渠道，渠底的法向冻胀量最大，这是由于此时渠道圆弧段较长坡板较短，圆弧段拱效应较弱，最大冻胀变形位于渠底；随着渠道规模增大，对（α=0.15，m=2）边坡较缓的大型渠道，其法向冻胀量呈现边坡大、渠底小的冻胀形式，且最大变形在距渠顶2/3坡长处（如图3（b）的A点所示），坡板鼓向渠内，这是因为当渠道规模较大时，坡板较长弧底较短，坡板对渠底板的约束加强，拱效应加强，因此圆弧段冻胀位移减小，最大冻胀位移发生在距渠顶2/3坡长处。同时还可看出对于封闭系统，衬砌的最小冻胀位移总在坡脚处，且渠道规模越大冻胀变形分布越均匀。

由图4可以看出，半开放系统的渠道整体法向冻胀量较封闭系统增大，最大冻胀位移均发生在渠底，且不论渠道规模大小，其法向冻胀量分布趋势基本相同。这是由于此时地下水可以通过毛细作用不断迁移至渠道圆弧段，使弧底发生强烈冻胀，而坡板水分迁移量较小，冻胀与冻结程度较小，对弧底的约束也较弱。从整体上看，渠道呈弧底凸起、渠坡微小上抬的冻胀形式，此时坡脚的位移已不再最小，渠道规模越大冻胀变形分布越均匀、其最大冻胀量也较小。

由图5可得，开放系统的渠道整体法向冻胀量较封闭系统和半开放系统明显增大。小型和中型渠道最大冻胀量位于渠底，法向冻胀量分布趋势基本相同；而大型渠道最大冻胀量位于距渠顶2/3坡长处，次大冻胀量发生在渠底。这是由于此时地下水可在毛细作用下供给至渠道全断面，使渠道整体产生强烈冻胀。小型和中型渠道边坡较短，圆弧段较长，拱效应较弱，渠底法向冻胀量较大；而大型渠道边坡较缓较长，不仅自身变形较大，而且对渠底约束也较大，弧底较短，拱效应显著，从而使渠底法向冻胀量有所减小，但因地下水位较高，最大冻胀位移在距渠顶2/3坡长处，且渠底冻胀变形较大。此时不论渠道规模大小，冻胀变形分布都不均匀。

4.2 衬砌板横截面正应力分布3种类型衬砌表面正应力分布分别见图6—图8。

图6 类型Ⅰ衬砌表面正应力分布

图7 类型Ⅱ衬砌表面正应力分布

图8 类型Ⅲ衬砌表面正应力分布

当衬砌体在冻胀力作用下，截面弯曲正应力达到极限值时，衬砌结构就会产生冻胀破坏［2，14］。因此，本文对衬砌截面各节点上、下表面的正应力进行分析，结果见图6—图8。

分析图6可知，对于封闭系统，小型和中型弧底梯形渠道在冻胀力作用下其衬砌全断面下表面受拉、上表面受压，最大拉应力和最大压应力均位于渠底中心处，应力极值依次为1.31、1.19、1.17，-1.18、-1.16和-0.91 MPa，渠道呈整体抬升、渠坡向渠内收缩的冻胀形式；随着渠道规模逐渐增大，大型渠道不仅渠底衬砌下表面产生最大拉应力，而且在距渠顶2/3坡长处的上表面也出现次大拉应力，应力极值分别为1.14和0.20 MPa。由于混凝土衬砌材料抗拉强度远小于抗压强度。因此，对于封闭系统的弧底梯形渠道，不论渠道规模大小其冻胀破坏形式首先为渠底中心下表面拉裂，但对于大型渠道也可能在距渠顶2/3坡长处上表面产生第二条裂缝，如宁夏引黄灌区弧底梯形混凝土衬砌渠道，其裂缝多发生于渠底中部，部分渠道也会在距渠顶2/3坡长处产生裂缝［32］。

从图7不难看出：与封闭系统相比，半封闭系统衬砌上下表面正应力值明显增大。对于小型和中型弧底梯形渠道，衬砌与封闭系统的应力性质完全相反，即衬砌全断面上表面受拉、下表面受压，最大拉应力和最大压应力均位于渠底中心处，应力极值依次为2.62、2.21、1.72、-2.05、-1.73和-1.35 MPa，表明此时渠道渠底已由反拱变为正拱，冻胀破坏发生在渠底上表面；而大型渠道衬砌表面拉应力极值有两个，其最大值位于渠底中心上表面、次大值在坡脚下表面，应力极值分别为1.53和0.49 MPa。因此，对于半封闭系统的弧底梯形渠道，不论渠道规模大小其冻胀破坏形式首先为渠底中心上表面拉裂，但对于大型渠道也可能在坡脚下表面拉裂，如新疆农七师车排子西干渠，其冻胀破坏位置多发生在渠底中心和坡脚处［33］。

由图8可得，对于冻胀开放系统，随着渠道规模及α、m的不同，渠道呈现不同的冻胀破坏形式。对于小型弧底梯形渠道，衬砌上表面受拉、下表面受压，最大拉应力和最大压应力均位于渠底中心处，渠道是由于渠底中心上表面的拉应力极值导致拉裂破坏，应力极值分别为3.85、3.21、-4.21和-4.01 MPa；中型渠道是由于坡脚上表面的拉应力极值导致冻胀开裂，拉应力极值为2.15 MPa；大型渠道是由于渠底中心下表面和距渠顶2/3坡长处上表面的拉应力极值导致冻胀开裂，其应力极值分别为1.51和1.62 MPa。因此，对于开放系统的弧底梯形渠道，小型渠道冻胀破坏形式为渠底中心上表面拉裂；中型渠道为坡脚上表面拉裂；大型渠道为渠底中心下表面和距渠顶2/3坡长处上表面拉裂，这与大量实际观测结果一致，如山西汾河灌区［34］、大禹渡灌区［35］等，其裂缝多发生在渠底中心和距渠顶2/3坡长处。

综上所述，对地下水埋深、冻深及渠深三者综合影响下弧底梯形渠道的冻胀破坏形式可分类总结如表4。

5 设缝位置建议

渠道在不均匀冻胀变形作用下，衬砌会产生拉裂破坏，因此可在混凝土衬砌渠道设计中顺其自然，通过预先设置不同纵缝释放不均匀冻胀变形以达到消减冻胀破坏的目的［17，36］，此措施既简单有效而且耐久好。因此，根据上述弧底梯形渠道冻胀破坏形式（如表4），通过在其拉应力极值处设置不同纵缝以释放渠道不均匀冻胀变形，达到渠道防冻胀的目的，设缝位置建议见表5。

表4 弧底梯形渠道冻胀破坏形式分类

表5 弧底梯形渠道设缝位置

6 结论

基于冻土水热力三场耦合理论，利用多场耦合软件COMSOL Multiphysics对所建的考虑水分迁移及相变传热的渠道冻胀数学模型进行求解，分析了基土冻深、地下水埋深和渠道规模对衬砌结构冻胀破坏的综合影响规律。

（1）通过对不同冻胀系统、不同冻深渠深比α和不同坡比m的弧底梯形渠道进行冻胀数值模拟，分析衬砌板法向冻胀量和横截面拉应力沿渠周的分布规律。结果表明：渠道规模、冻深及地下水埋深单因素影响下，渠道规模越大越窄深、冻深越大、地下水埋深越浅，则使冻胀变形及冻胀拉应力强化，且沿周长分布也越不均匀；反之则弱化。多因素作用下，渠道的冻胀破坏是由强化冻胀的主导因素决定的，它对冻胀变形及应力分布起主要控制作用。

（2）冻胀封闭系统，中小型渠道为渠底中心下表面拉裂，大型渠道为渠底中心下表面和距渠顶2/3坡长处上表面拉裂；冻胀半开放系统，中小型渠道为渠底中心上表面拉裂，大型渠道为渠底中心上表面和坡脚下表面拉裂；冻胀开放系统，小型渠道为渠底中心上表面拉裂，中型渠道为坡脚上表面拉裂，大型渠道为渠底中心下表面和距渠顶2/3坡长处上表面拉裂。

（3）建议在应力极值的拉裂处设置纵缝以消减冻胀，提出了相应尺寸关系下的弧底梯形衬砌渠道设缝位置建议方案。即对于小型渠道，在渠底中心处设缝；中型渠道，冻胀封闭系统和半开放系统为渠底中心处设缝，开放系统为坡脚处设缝；大型渠道，封闭系统和开放系统为渠底中心和距渠顶2/3坡长处设缝，半开放系统为渠底中心和坡脚处设缝。