趣谈数学中的转化思想

孙翠微

三十六计中有一个相当精彩的智谋——围魏救赵.其精妙之处在于避实就虚，一招制胜.在研究和解决数学问题的过程中，当我们遇到较难或者复杂的问题时，迎头直上往往绞尽脑汁也不得其解，如果避实就虚，转化成一个我们熟悉或者在我们能力范围之内的问题进行解决，就会化难为易，问题迎刃而解.

转化思想是一种最基本的数学思想.在解决数学问题时，我们一般会将未知问题转化为已知的问题，把复杂的问题转化为简明的问题，把抽象难懂的问题转化为具体形象的问题，将生活中的问题转化为数学中的问题等.可以说转化思想就好比一把神兵利器，对付难解的问题，总能所向披靡.下面我们一起来领略一下转化的魅力吧.

一、未知化已知

例1 求1+3+32+33+…+38的值.

【分析】直接计算，太麻烦！仔细观察，不难发现，从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，不妨设：

S=1+3+32+33+…+38，①

然后在①式的两边都乘3，得：

3S=3+32+33+34+…+38+39，②

②-①得：3S-S=39-1，即2S=39-1，

所以S=[39-12].

【点评】这一题的精妙之处在于，抓住式子的结构特征，通过变换将一道算式的求和问题转化成两个等式“错位相减”的问题，求解方程，化未知为已知，进而轻松解决.如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），能否求出1+m+m2+m3+m4+…+m2016的值，试试看？

正确答案是：[m2017-1m-1].

所谓化未知为已知，就是把生疏的问题转化为熟悉的问题，把新问题转化为旧问题.比如：我们解二元一次方程组的基本思路是消元，故把二元一次方程组化为一元一次方程来解决；解分式方程需要先去分母，转化为整式方程来解决等.

二、数与形的转化

（一）化形为数.

例2 如图1，平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点D，B为AO的中点，DC⊥DB交x轴于点C，E在y轴上，且OE=OC，经过B、E、C三点的抛物线与直线AD交于F、G两点，直线AD与其对称轴交于M点.

（1）求经过B、E、C三点的抛物线的表达式.

（2）N是抛物线上一动点，在抛物线的对称轴上是否存在点H，使以C，D，N，H为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）由y=x+2可求出点A（-2，0）、D（0，2）、点B（-1，0），由△ODB∽△OCD，可得C（4，0），所以E（0，4），然后利用待定系数法就可以直接求出抛物线的表达式.

（2）D、C为两定点，N、H为两动点，由平行四边形对角线互相平分，易得对角线的交点即为每条对角线的中点.按CD为边和对角线两种情况分类讨论.

解：（1）在y=x+2中，分别令x=0，y=0，于是得到A（-2，0）、D（0，2），由B是AO的中点，得B（-1，0），由△ODB∽△OCD，得OD2=OB?OC，得OC=4，C（4，0），由OE=OC，得E（0，4）.

设函数解析式为y=a（x+1）（x-4），将E（0，4）代入得a=-1，所以y=-x2+3x+4.

（2）∵抛物线的对称轴为x=[-1+42]=1.5，设H（1.5，h），由于点N在抛物线上，设N（n，-n2+3n+4）.

①当CD为边时：HC、DN为对角线，

[4+1.5=0+n，0+h=-n2+3n+4+2，] 解得h=[-314]；

HD、CN为对角线，

[0+1.5=4+n，2+h=-n2+3n+4+0，] 解得h=[-474].

②当CD为对角线时，

[0+4=1.5+n，0+2=-n2+3n+4+h，]h=[-134].

综上所述，共有3个点H满足条件，即（[32]，[-134]）或（[32]，[-314]）或（[32]，[-474]）.

【点评】运用代数方法解决几何问题，往往是把几何元素代数化，比如平面直角坐标系中，把点转化为坐标的形式.几何关系数量化，解题思路更加清晰简单，往往能化繁为简，事半功倍.

（二）化数为形.

例3 计算[34]+[316]+[364]+…+[34096].

【分析】多个异分母分数相加，直接计算非常麻烦.如果借助图形，这道算式可以理解为一个面积为1的大正方形中，如图2的[34]、[316]、[364]…[34096]的和，那么通过观察，可以发现，这些面积之和等于大正方形的面积1减去[14096]，

原式=1-[14096]=[40954096].

【点评】很多代数问题，借助图形能够帮助我们更直观形象地抓住本质，找到解决问题的路径.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”在平时的数学学习和研究中如果能够灵活地在数与形之间进行转化，往往能帮助我们另辟蹊径，达到“柳暗花明又一村”的效果.

三、空间向平面的转化

例4 如图3，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C，怎样爬行路线最短？

【分析】根据线段的性质，两点之间线段最短，我们把正方体展开，直接连接A、C两点可得最短路线.如果看爬行路径，有三种情況：若蚂蚁爬行时经过面AD，可将这个正方体展开，在展开图上连接AC，与棱a（或b）交于点D1（或D2），蚂蚁沿线段AD1→D1C（或AD2→D2C）爬行，路线最短；类似地，蚂蚁经过面AB和AE爬行到顶点C，也分别有两条最短路线，因此，蚂蚁爬行的最短路线有6条.

【点评】在研究和解决立体图形的问题时，需要较强的观察和抽象思维能力，难度较大.然而相对平面图形来说，我们有较多的数学学习活动经验，往往会把立体图形转化成平面图形来解决.比如计算圆锥的侧面积时要转化成求侧面展开图扇形的面积，这样，化立体为平面，大大降低了计算的难度.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）