基于“教学环”理念的高三专题复习课教学例说

卢瑞庚　于成宽

近年来，“以问题为导向，能力立意，聚焦核心素养”已经成为高考各科目备考的基本思路，数学学科也不例外.高中数学学科核心素养主要包括逻辑推理、直观想象、数学抽象、数学运算、数据分析、数学建模六个方面，其中的逻辑推理、数学抽象集中体现了数学思维的严谨性.导数题是培养数学抽象和逻辑推理的最好题型，一直是近年高考的压轴题，今年高考也不例外.虽然各校每一届高三数学老师都很重视针对该题型进行解题策略讲解，然而考生在解题时仍然不得其法，能够突破导数压轴题的仍属凤毛麟角.我们尝试运用构造思想，以“构造思想在高考导数压轴题中的应用”为题，基于“教学环”理念展开导数压轴题专题复习，最终成功突破了这一教学难关，帮助学生在近年高考中取得了较好的成绩.

一、基于学情和考情，确定专题复习课教学目标和教学重难点

高三总复习的指导思想是高考考什么就复习什么、高考怎么考就怎么复习.高三专题复习属于高考总复习中的第二轮复习，应以问题为导向，重点研究学生在第一轮复习中尚未解决的问题，分析问题本质，针对学生的薄弱点寻找精准突破的策略方法，进而有效提高学生的学科素养和应试能力.为了确保因材施教、精准突破，高三教师必须站在整个学科素养的高度，认真研究不同类型高考真题的命题规律及答题规范，进而厘清各个考点的复习方法，指导学生科学、高效备考.

鉴于导数题是多数学生的“心头之患”，教师对导数题命题规律的研究必须予以高度重视.近年来，我们认真研究高考导数压轴题的命题、答题规律，从中抽象概括出知识点考查的本质，并瞄准该题型中所蕴含的逻辑推理能力和抽象概括能力，努力寻求突破策略，有效提高学生的解题能力和学科素养.我们在研究中发现，构造思想可以成为解决导数压轴题的重要思路，于是为本课复习课拟定了如下教学目标：1.引导学生从近三年高考课标卷导数题中提炼该题型的命题规律，认清该题型所考查的问题及其本质，把握各种类型导数题解题的关键；2.与学生共同探究构造方程、构造函数、构造不等式的技巧，体验构造之乐；3.渗透逻辑推理能力的培养，精心培育学生的数学学科核心素养.本课重难点是从高考题中分析归纳构造函数、构造方程、构造不等式的方法，突破导数题解题的关键步骤，即构造方法的应用，精准提升学生解决该题必备的关键能力.

二、专题复习课之学生课前预习的教师导读策略

在高三复习课中，课前预习的主要任务是让学生通过认真解答高考真题，特别是高考近三年的真题，尝试将高考真题按照题型进行分类，归纳各类题型的考点，从中洞察命题规律，抽象出各类题型的重、难考点，掌握解决各类题型的关键点.专题复习课基于高考重、难考点而设，以专题方式寻求重、难考点的精准突破策略.专题复习课中的学生课前预习，教师的导读提纲仍然是以问题的方式呈现，问题中暗含着教师对高考相关题型的精确研究和对学生学习过程的巧妙引导.需要说明的是，教师对高考真题的研究必须到位，教师对真题的研究到位则问题提炼到位；问题提炼到位，则导读恰切，学生的总结归纳中就能出现教师期待中的缤纷亮点.在本课中，我们设计了如下导读任务.

问题1：阅读2015—2017年高考真题（见图1），你体会到了高考在导数题中函数的类型有何特点？请总结导数题重点考查的问题是什么、考查的本质是什么、命题方向是什么.

[1.【2015年课标II卷·理】设函数[f（x）=emx+x2-mx].

（Ⅰ）证明：[f（x）]在[（-∞，0）]单调递减，在[（0，+∞）]单调递增；

（Ⅱ）若对于任意[x1]，[x2∈][-1，1]，都有[f（x）1-f（x）2≤e-1]，求[m]的取值范围.

2.【2016年课标II卷·理】

（Ⅰ）讨论函数[f（x）=x-2x+2ex]的单调性，并证明当[x>0]时，[（x-2）ex+x+2>0]；

（Ⅱ）证明：当[a∈][0，1）时，函数[g（x）=ex-ax-ax2（x>0）]有最小值.设[g（x）]的最小值为[h（a）]，求函数[h（a）]的值域.

3.【2016年课标I卷·理】已知函数[f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2]有两个零点.

（Ⅰ）求[a]的取值范围；

（Ⅱ）设[x1]，[x2]是[f（x）]的两个零点，证明：[x1+x2<2].

4.【2017课标I卷·理】已知函数[f（x）=ae2x+（a-2）ex-x].

（1）讨论[f（x）]的单调性；

（2）若[f（x）]有两个零点，求[a]的取值范围.

5.【2017课标II卷·理】已知函数[f（x）=ax2-ax-xlnx]，且[f（x）0].

（1）求[a]；

（2）证明：[f（x）]存在唯一的极大值点[x0]，且[e-2

6.【2017课标Ⅲ卷·理】已知函数[f（x）=x-1-alnx].

（1）若[f（x）0]，求[a]的值；

（2）设[m]为整数，且对于任意正整数[n]，[（1+12）（1+122）…（1+12n）<][m]，求[m]的最小值.

]

图1

问题2：导数本质是什么？导数综合题的解题思路与方法是什么？

问题3：解决这些高考题时有什么共性的思路？

以上三个问题，旨在引导学生对导数知识和方法进行更为深入的分析、研究，使之站在构造思想的高度重新认识和理解函数与导数，把握学科知识本质，体悟考试规律.

“问题1”让学生从真题中“品味”高考，总结如下规律.比如引导学生观察发现：导数题中，函数的载体一般是含[ex]、[lnx]的复合函数的综合问题.问题考查方式：利用或分析函数及其导数的概念、图象和性质，并在此基础上通过列方程、列不等式，经运算、推理解决有关问题.考查本质：用两个简单函数构造含参数的一类凹凸函数，选择恰当的参数值，提出并解决与这一类函数的单调性有关的问题.命题方向：导数题第一问，通常是曲线切线方程、极值点或最值、单调性等问题；第二问与不等式相联系，考查不等式恒成立、證明不等式或零点等问题，主要考查导数与函数单调性，或方程、不等式的综合应用.通过研究以上规律可知，运用导数的方法研究不等式和方程的关键，在于构造函数、方程和不等式.

“问题2”要求学生站在学科素养高度概括和理解导数的本质.导数是对事物变化快慢的一种刻画，是研究客观事物的变化率，研究函数性质（如单调性、极值、最值等）以及最优化问题的强劲工具.导数的几何意义是函数在某点处的切线斜率.解决函数与导数综合题的解题思路与方法包括：分析问题并确定是什么问题（曲线的切线、单调性、极值、最值、恒成立问题、不等式证明问题、零点问题或其他），分析解决此类问题的一般方法及步骤是什么（如恒成立问题一般用分离参数、构造新函数，再转化为求最值问题），构造新函数（确定研究哪个函数，可能是构造局部函数，也可能适当变形后再构造），研究函数性质（函数的单调性，极值是核心，由性质画出函数草图），用代数推理来解决问题（由图想数，用数说理）.注意：导数题不能用图形代替说理的过程（此处无图胜有图）.在以上过程中，构造新函数最为关键，要以方便求出单调性、极值为原则.

“问题3”是需要教师与学生一起思考和解决的本课重点问题，即“构造思想”问题.

三、在学生课堂学习过程中，教师应强化导学意识，加强导法、学法研究，善于引导学生发现适合自己的解题思路和方法，体现解题方法的多样性

在高三总复习阶段，有些教师习惯用大量时间从头到尾讲参考书上的复习题，让学生深陷题海而不能自拔，教师成为标准答案的搬运工.毫不夸张地说，这些教师是在用师生共同的简单重复劳动来弥补其自身课堂教学的缺陷，用表面的“辛苦搬运”来掩盖其思想上的懒惰.其实在复习备考阶段，课堂教学的重点应是对学生加强解题方法指导，即归纳高考考查的考点，找出各考点的对应题型，研究高考真题情境下的解题思路和方法，引导学生学会自主总结解题经验，并通过变式训练巩固自己熟练的解题策略.在“教学环”理念所构建的复习课教学模式中，我们的课堂教学环节通常包括知识回顾、例题讲解、变式练习、归纳总结、布置作业5个教学环节.在本课中，为了让学生学会熟练地运用构造思想解决导数问题，我们在课前用任务导读的方式引导学生自行回顾了相关知识，课堂教学的重点便放到了引导学生自主寻找解题策略上，旨在让学生逐渐掌握构造思想在解题过程中的几种常见思路.

[例题讲解]

针对2017年高考课标II卷·理的第一问（见图1），教师与学生展开了如下对话.

师：由[f（x）≥0]，可直接转化为求[f]（[x]）的最小值吗？

生1：不行，应注意到函数[f]（[x]）的定义域为（[0，+∞]），构造新函数[g（x）][=ax-a-lnx]，则[f（x）]=[xg（x）]，[f（x）][0]等价于[g（x）][0].因为g（[1]）[=0]，[g]（[x]）[0]，须[g′]（[1]）[=0]，而[g′]（[x]）[=a-1x]，[g′]（1）[=a-1]，得[a=1].若[a=1]，则[g′]（[x]）[=1-1x].当[01]时，[g′]（[x]）[>0]，[g（x）]单调递增.所以[x=1]是[g′]（[x]）的极小值点，故[g（x）][≥g]（1）[=0].综上，[a=1].

师：很好！你构造函数的方法是，先对原不等式进行变形，然后再构造.

生2：我注意到[f]（[x]）[≥0]，有[ax2-ax≥xlnx]，又[x>0]，所以[a（x-1）≥lnx]在（[0，][+∞]）上恒成立.分别构造两个新函数[g（x）=a（x-1），h（x）=lnx]，则函数[y=g（x）]在（[0，][+∞]）上的图象永远在函数[y=h（x）]的图象的上方.由于函数[y=g（x）]与[y=h（x）]的图象有公共点（1，0），所以满足条件的图象临界状态为[y=h（x）]在（1，0）处的切线.[h′（x）=1x，h′（1）=1]，故[a=1].若[a=1]，则[g′]（[x]）=1-[1x].当[01]时，[g′]（[x]）[>0]，[g]（[x]）单调递增.所以[x=1]是[g（x）]的极小值点，故[g（x）][≥][g]（[1]）=0.综上，[a=1].

师：很好！变形后构造两个新函数，观察两个新函数的图象的关系进行求解.

生3：我想到分离参数[a].由[a（x-1）≥lnx]，可得[a≥][lnxx-1（x>1）]或[a≤lnxx-1（0

师：非常好！通过观察原函数，对原函数变形后构造函数，分参后构造函数是常用思路和方法.

在上述师生对话中，学生体验到了构造函数的基本方法，推理过程体现了构造方程和不等式及其相互转化的巧妙.为了让学生熟练掌握和运用构造思想来解决导数问题，接下来教师引导学生思考2017年课标Ⅲ卷第二问（见图1）的解题思路.

生4：由第一问，取[a=1]，构造不等式[lnxx-1]，进而有[ln（1+12n）12n].

生5：由已知，我注意到不等式[（1+12） （1+122） …][（1+12n）

以学生为主体，让学生的思维在师生之间、生生之间的交互中得到碰撞、提升，学生们的“构造”能力越来越强，学科素养的提升显而易见.

【变式练习】

当学生初步体验了构造思想是导数问题解题的关键以后，教师应及时引导学生进行变式练习，一来巩固所学知识與技能，二来达到深化理解，将新的理解纳入原有认知结构的目的.于是教师出示了下面的问题（如图2），让学生思考其中的第二问，想想如何构造函数可以使问题得到解决.

[变式练习：已知函数[f（x）=ex-ln（x+m）].

（1）设[x=0]是[f（x）]的极值点，求[m]，并讨论[f（x）]的单调性；

（2）当[m≤2]时，证明[f（x）>0].

]

图2

学生简单思考后，开始举手作答.

生6：直接利用原函数[f（x）=ex-ln（x+m）]，求导[f ′（x）=ex-1x+m]，将问题转化为证明[f（x）=ex-ln（x+m）]的最小值大于0的问题.

师：应该可以，这个思路自然、直接，不过我想，过程可能会比较繁琐，因为含有参数[m]，要讨论.

生7：受到例题的启发，我想对原函数移项，[f（x）=][ex-ln（x+m）>0?ex>ln（x+m）]，分别令[y=ex]和[y=][ln（x+m）].

师：注意观察两个函数[y=ex]和[y=ln（x+m）]在[（-m，][+∞）]上无最值，解题思路受阻.

生8：对，构造函数应使其有最值才行.因为我们研究过函数[y=ex-x]，所以我想到构造[f（x）=ex-ln（x+][m）>0?ex-x>ln（x+m）-x]，分别令[g（x）=ex-x]和[h（x）=][ln（x+m）-x].即证明[（ex-x）min>（ln（x+m）-x）max].由于[g′（x）=ex-1]，当[x<0]时，[g′（x）<0]，[g（x）]单调递减；当[x>0]时，[g′（x）>0]，[g（x）]单调递增，所以[gmin（x）=g（0）=1].又[h′（x）=1x+m-1]，当[x∈（-m，1-m）]时，[h′（x）>0]，[h（x）]单调递增；当[x∈（1-m，+∞）]时，[h′（x）<0]，[h（x）]单调递减.所以[hmax（x）=h（1-m）=m-1].因为[m≤2]，故[g（x）≥][1≥m-1≥h（x）]，等号不能同时成立，问题得证.

师：对原函数重组后再构造两个新函数，非常好！

生9：受以上同学启发，再联想到常用的不等式[ex≥][x+1].先设[g（x）=ex-x-1]，[g′（x）=ex-1].当[x<0]时，[g′（x）<0]，[g（x）]单调递减；当[x>0]时，[g′（x）>0]，[g（x）]单调递增.所以[gmin（x）=g（0）=0，][ex≥x+1，]从而有[x≥][ln（x+1）].故[ex-ln（x+m）≥ex-][ln（x+2）=][（ex-x][-1）][+][[x+1-][ln（x+][2）]>0]，问题得证.

通过一题多解，学生对构造思想的理解越来越深、运用越来越娴熟、方法越来越巧妙，直观想象和数学建模的能力都得到了很好的提升.

【归纳总结】

课堂归纳总结具有画龙点睛的作用，它是对本课所学知识、方法进行反思和总结的过程.学生通过对知识的系统梳理和对思想方法的升华，认知水平得以从感性认识上升到理性思考.专题复习课的归纳总结主要是总结高考命题规律，提升解题的思路和方法，引导学生“学会怎样解题”.比如本课的归纳小结，重点是总结导数高考题命题的一般规律，在课堂中学到了哪些解题方法，辨析这些方法是不是通法通则，是如何想出来的，是否还有其他方法，等等.过程略.

【布置作业】

在“教学环”理念中，课后练习是个重要的教学环节，旨在让学生通过完成教师布置的精选练习，结合自身实际，学会怎样解题.通常情况下，精选练习须遵循如下设计原则：首先，练习要有针对性，通过练习检测学生是否掌握本课的内容与方法；其次，练习要有层次性，既要照顾全体，又要让学有余力的学生求知欲得到满足；再次，练习布置要有前瞻性，要为下一节课的知识产生埋下伏笔，让学科教学“环环相扣”；最后，还可以将课堂教学环节中的例题及变式题制作成微课，利用“互联网+”，将课堂延伸到课外，让学生的学习无处不在.鉴于本课内容的重要性，我们为本课设计了如下分量不轻的课后练习.

1.【2015年课标Ⅱ卷·理】设函数[f′（x）]是奇函数[f（x）（x∈]R[）]的导函数，[f（-1）=0]，当[x>0]时，[xf′（x）-][f（x）<0]，则使得[f（x）>0]成立的[x]的取值范围是（ ）

A. [（-∞，]-[1）][?（0，][1）] B. [（-1，][0）?（1，][+∞）]

C. [（-∞，][-1）?（-1，][0）] D. [（0，][1）?（1，][+∞）]

2.若定义在R上的函数[f（x）]满足[f（0）=-1]，其导函数[f′（x）]满足[f′（x）>k>1]，则下列结论中一定错误的是（ ）

A. [f1k<1k] B. [f1k>1k-1]

C. [f1k-1<1k-1] D. [f1k-1>kk-1]

3.已知[f（x）]是定义在R上的奇函数，[f（-1）=-1]，且当[x>0]时，有[xf′（x）>f（x）]，则不等式[f（x）>x]的解集是（ ）

A.[（-1，][0）] B. [（1，][+∞）]

C. [（-1，][0）?（1，][+∞）] ] D. [（-∞，][-1）?（1，][+∞） ]

4.已知函数[f（x）=lnx+kex]（[k]为常数；[e]是自然对数的底数，[e=2.71828…]），曲线[y=f（x）]在点[（1，f（1））]处的切线与[x]轴平行.

（1）求[k]的值；

（2）求[f（x）]的单调区间；

（3）设[g（x）=（x2+x）f′（x）]，其中[f′（x）]为[f（x）]的导函数.证明：对任意[x>0]，[g（x）<1+e-2].

5.已知函数[f（x）=lnx-a（x-1）x+1]，[a∈R].

（1）若[x=2]是函数[f（x）]的极值点，求曲线[y=f（x）]在点[（1，f（1））]处的切线方程；

（2）若函数[f（x）]在[（0，+∞）]上为单调增函数，求[a]的取值范围；

（3）设[m，n]为正实数，且[m>n]，求证：[m-nlnm-lnn][

练习1—3主要是让学生体会构造思想在小题中的巧妙运用；练习4—5是构造思想向不等式证明中迁移运用，用来为下一节课“利用导数如何证明不等式问题”埋下伏笔.（题图为卢瑞庚老师）

（责编 白聪敏）