浅谈极值点偏移问题

陈俊艺

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）27-0131-02

在翻阅近几年的高考试卷中，发现以极值点偏移为背景的试题，时有出现。通过阅读一些参考文献，笔者深受启发，这里给出处理此类问题的一种突破策略。

1.知识准备

极值点偏移：若可导函数在处取得极值，且函数与直线交于，两点，则的中点为，若则称极值点左偏，若则称极值点右偏。

2.真题再现

（2016年全国I卷）已知函数有两个零点.

（1）求的取值范围；

（2）设是的两个零点，证明：.

分析：（1）求函数的导数，并对参数进行分类讨论，分别研究函数的单调性、极值、最值，根据有两个零点，从而得到参数的取值范围.

（2）证明：要证明即要证明，是极值点右偏的问题，现给出本题的解答.

解：不妨设，由（1）知，

在上单调递增

令，则

，在上递增

所以，即，

所以，

故，即.

点评：要证明等价于，即.所以想到构造函数

3.突破策略

通过上面的解答，下面给出解决极值点偏移问题的一种策略：

（1）求出函数的极值点；

（2）构造函数；

（3）研究函数的单调性；

（4）结合判断的符号，从而确定与的大小关系.

下面再结合一些题目，加深对这种策略的理解。

4.牛刀小试

例1（2013湖南文）已知函数，证明：当时，

解：易求出在上单调递增，在上单调递减.

当时，不妨设，由函数单调性知。

构造函数

令，

当时，，单调递减，

从而，又

所以即。

而，所以，又，从而.

由于，且在上单调递增，所以，即证

点评：这边构造函数主要目的是通过，判断的符号，从而较与的大小。又所以只需要考虑的符号。

例2.（2010天津理）已知函数 ，如果，且 ，证明：

解：，所以在上单调递增，在上单调递减，函数在处取得极大值，且，如图所示.由，不妨设，则必有，

构造函数

则，所以在上单调递增， 故

由，则，所以

所以，即

例3. （2015年苏锡常镇（二模）已知函数，其导数记为（为自然对数的底数）

（1）求函数的极大值；

（2）解方程；

（3）若存在实数使得，

求证：

解：（1）函数的定义域为，

当时，单调递增，当时，单调递减。则

（2）.若，显然满足上式.

若，方程等价于，

故，显然当时，，

令，

故在上单调递增，而，故当时原方程有唯一根.

综上，原方程的解为x=0或x=1

（3）证明：不妨设，

由（1）知，，

在上单调递减

令，则，在上递增

所以，即，

又当时单调递减

所以，

故，即

点评：（3）问欲证，只需证明，也就是极值点左偏的问题。

例4.（苏州市2017届高三调研数学试卷）已知函数.（）若，且，证明：.

分析：令，则要证明转化为证明，也就是极值点右偏问题

解：令，则，要证明只需证

把代入

得 ，

当时，单调递减，当时，单调递增则

令，则

，在上递增

所以，即，

又当时单调递增

所以，

故，即

点评：本题是在原有的两个变量的基礎上，运用换元法，从而转化成极值点偏移问题去解决.

5.解题感悟

这类以极值点偏移为背景的题目，很好地考查了学生的方程与函数，数形结合，转化和化归思想。对学生的能力要求比较高。通过对相关题目的解答方法的探究，归纳总结出解决问题的通性通法。可以帮助学生加深对题目本质的理解，提高解题能力。

参考文献：

[1]刑友宝.极值点偏移问题的处理策略[J].中学数学教学参考（上旬），2014（7）：19-22.

[2]王历权，党忠良.也谈极值点偏移问题[J].福建中学数学，2016（4）：12-14