求阴影部分面积的七种方法

文/于 涛 胡尊岩

求阴影部分的面积是常见题型.对于不同的面积问题，要选择与它相适应的解法，才能减少计算量，快速求解.请看下面的例题.

一、直接利用公式法

例1同学们在学校小花园的一角种植了M，P，Q三种花，其所占的种植区域如图1所示，∠AOE=90°，AB=OB，CB∥OE，AB=4m，则种植M花的面积为（ ）

解析：∵∠AOE=90°，CB∥OE，∴CB⊥OA，

∵AB=OB，AB=4m，

∴OC=OA=8m，∠AOC=60°，∴∠COE=30°，

∴种植M花的面积为选A．

图1

二、等面积转化法

例 2 如图2，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8，则图中阴影部分的面积是（ ）

解析：连接OE，OF，OC，OD，过O作OM⊥EF于M，反向延长线交CD于N，如图3.

∵AB∥CD∥EF，∴S△ACD=S△OCD，S△AEF=S△OEF，

所以阴影部分面积等于扇形COD与扇形EOF的和，

∵AB=10，CD=6，EF=8，MO⊥EF，ON⊥CD，

图2

∴OD=OF=5，FM=ON=4，OM=DN=3，

∴△OFM≌△DON，

∴∠FOM+∠DON=90°，

∴∠EOF+∠COD=180°，

即S阴影=.选A.

图3

三、对称转化法

例3如图4，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

解析：根据双曲线的中心对称性，图中阴影部分面积的和是一个圆的面积.

由于⊙A与x轴和y轴相切，且圆心在双曲线上，

图4

设圆的半径为r，则点A（r，r）在双曲线上，

所以有r2=1，即r=1，所以圆的面积是π，

故图中阴影部分的面积是π.

四、平移法

例4如图5，已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，求图中阴影部分的面积.

解析：移动小半圆至与大半圆的圆心重合的位置，则阴影部分的面积不变，如图6.

设切点为H，连接OH，OB，

图5

又AB切小半圆于点H，故OH⊥AB，

故OB2-OH2=BH2=4，

图6

五、和差法

例 5 如图7，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD的延长线与AB的延长线相交于点G.

（1）求证：DF是⊙O的切线；

证明：（1）连接AD，OD，如图7．

∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，

∵AC=AB，∴点D为线段BC的中点.

∵点O为AB的中点，∴OD为△BAC的中位线，∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线．

∵AC=AB，∴△ABC为等边三角形，∴AB=4．

∵OD∥AC，∴∠DOG=∠BAC=60°，

图7

六、重叠法

例6如图8，半圆O的直径AB=20，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P.

（1）求AP的长；

（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

解析：∵∠OBA′=45°，O′P=O′B，

∴△O′PB是等腰直角三角形，

图8

七、整体法

例7如图9，分别以n边形的顶点为圆心，以1cm为半径画圆，当n=2018时，求图中阴影部分的面积之和.

解析：每个阴影的面积是以这个多边形的外角为圆心角的扇形面积，因多边形的外角和为360°，故可以求出阴影部分的面积和．

∵多边形的外角和为360°，

∴S1+S2+…+S2018=S圆=π×12=π（cm2）．

图9