极坐标思想在抛物线中的应用

张文斌 刘彦江 赵欣庆 丁冬彦

（甘肃省永登县连铝学校，甘肃 永登）

几何画板创设了一个数学实验室，提供了一个理想的做数学的环境。学生可以从“听”数学转变到“做”数学，即以研究者的方式，参与包括发现、探索在内的获得知识的全过程。教师利用它打破了传统的用尺规教学的方法。具有动态直观、数形结合、色彩鲜明、变化无穷的特点，能极大地增强学生的学习兴趣，是一只点石成金的金手指。

我们基于《几何画板》软件探究出了《极坐标思想在抛物线中的应用》一课。课堂实录如下：

几何画板展示定义（学习抛物线时已多次展示给学生。但这一次教师现场操作电脑鼠标、键盘构造抛物线的第三标准方程的图像，展示大屏幕在黑板的右侧）。

（1）建立以O为坐标原点的平面直角坐标系。在y轴正半轴上任意选取一焦点F，并作出其关于x轴的对称点F′。过点F′作y轴的垂线，即准线l′。

（2）在准线l′任意选取一点D，过点D作直线l″⊥l′.作线段DF的中垂线l，设直线l与直线l″相交于点G。

（用鼠标拖动点D，观察点G的变化情况，在动态中△GFD恒为等腰三角形，即

（3）同时选取D、G两点，构造点G的轨迹。即为以F为焦点，直线l′为准线的抛物线。

图一

几何画板展示抛物线的第三标准方程的图像后，在黑板左上方偏下的位置板书抛物线的第三标准方程：x2=2py。

在抛物线第三标准方程下方板书：

例 1：过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为 30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴左侧），则

分析：在几何画板上，过切线l与准线l′的交点作切线l的垂线，与射线GF相交于点A.选择文本工具，将点G改为点B.用鼠标拖动点D、F，使直线AB的倾斜角满足题意。发现这是一个与p值无关的动态中恒成立问题。

解：由极坐标的思想方法，可得

图二

例 2：已知直线y=kx-2（k＞0）与抛物线C：x2=8y相交于A、B两点，F为C的焦点，若，则k= （ ）

分析：在几何画板上，删除无关点线，突出抛物线第三标准方程的主体图形，保留动点D及抛物线上的点B。在准线l′上任意选取动点D′，过点D′作直线与准线l′垂直，设该直线与线段D′F的中垂线相交于点A。构造直线AB。用鼠标拖动点F，使抛物线与题意吻合。拖动点D、D′，使DB、D′A满足题意且直线AB过点（0，-2）。发现这是一个满足多重条件的定值定点问题。

解：由抛物线的定义，可得

图三

FA=D′A，FB=D′B。

设，A（x1，y1），B（x2，y2），则x2=2x1，y2+2=2（y1+2）。

代入x2=8y得

本节课以抛物线为例，阐明极坐标思想在圆锥曲线中的应用，基于几何画板在极坐标方程教学中的应用的新探索。本文充分体现了几何画板作图，创设数学实验室，实现做数学的思想。