《整式的除法》教学设计与思考

陈佳

【摘要】教师在教学《整式的除法》时，可引导学生根据乘、除法互为逆运算及整式的乘法，完成一系列由浅入深的练习，从而学习整式的除法相关知识，渗透转化的数学思想以及由特殊到一般、由具体到抽象的数学归纳思想。

【关键词】《整式的除法》 乘除逆运算 转化 归纳

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2018）06A-0099-03

一、教材分析

整式的除法是整式四则运算的重要组成部分，是今后学习因式分解、整数指数幂、分式运算等内容的基础。课本在学生学习整式的乘法后，从逆运算角度介绍整式的除法的相关内容，主要包括同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式。同底数幂相除的性质也是幂的运算性质之一，它是整式除法的基础。

对于同底数幂除法，本课只讨论所得商仍是整式的情形，对于所得商是分式的情形将在后续引入负整数指数幂的概念后再讨论。课本根据乘、除互为逆运算的关系，并以分配律、同底数幂的除法为依据，由具体实例得到单项式相除法则；多项式与单项式相除的第一步是转化为单项式与单项式相除，第二步是转化为有理数的除法与同底数幂的除法，这里渗透“转化”的思想方法。

二、学情分析

在之前的学习中，学生已经学习了同底数幂的乘法以及整式的乘法运算，根据乘、除法是互逆的运算得出同底数幂相除性质、单项式除以单项式的运算法则。多项式除以单项式是整式除法中最后一项内容，根据乘、除互为逆运算的关系，并以分配律、同底數幂的除法为依据，由具体实例得到多项式除以单项式法则。在计算多项式除以单项式时，用单项式去除多项式的各项，从而转化为单项式除以单项式，再归纳出多项式除以单项式的文字叙述法则，符合学生的认知规律。

三、教学目标与重难点

（一）目标

1.理解同底数幂的除法，会用这一性质进行同底数幂相除；

2.能运用整式除法的法则进行计算，体会转化思想在解决数学问题中的应用。

（二）目标解析

达成目标一的标志是：学生能根据乘、除法是互逆运算，得出同底数幂相除的性质；会用符号语言、文字语言表述这一性质，会进行同底数幂的除法运算。

达成目标二的标志是：学生能根据乘、除法为互逆运算，得出单项式除以单项式运算法则，并运用法则进行计算；在计算多项式除以单项式时，会用单项式去除多项式的各项，从而转化为单项式除以单项式，再用文字归纳出多项式除以单项式的法则，体会转化思想在解决数学问题中的应用。

（三）重难点

重点：单项式除以单项式的运算法则及其应用。

难点：多项式除以单项式的运算法则及其应用。

四、教学过程设计

1.复习幂的运算性质：

am·an=am+n（m，n都是正整数）

（am）n=amn（m，n都是正整数）

（ab）n=anbn（n是正整数）

2.探索并归纳同底数幂的除法性质

问题1 填空

（1）（ ）×23=25 25÷23=（ ）

（2）（ ）×103=107 107÷103=（ ）

（3）（ ）·a3=a7 a7÷a3=（ ）

师生活动：教师提出问题，学生根据同底数幂的乘法法则运算解答，再根据除法是乘法的逆运算，得出同底数幂相除的结果。教师告诉学生也可以根据分式约分去理解同底数幂相除，即：[2523]=[2×2×2×2×22×2×2=2×21=22=4].

追问1 am÷an=（ ）

【设计意图】让学生感受乘、除法是互逆运算，在观察、比较、抽象、概括中总结出同底数幂的乘法运算的本质特征，并猜想其性质，即：am÷an=am-n。

追问2 你能发现其中的规律，并用文字语言概括同底数幂的除法性质吗？

师生活动：类比之前推导同底数幂乘法的性质“am·an=am+n（m，n都是正整数）”的方法，学生推导并归纳总结出同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am÷an=am-n（a≠0，m、n都是正整数且m>n）。

【设计意图】让学生体会由特殊到一般的思想，根据类比思想及方法，用文字语言概括归纳出同底数幂除法的性质。

追问3 am÷am=（ ）

师生活动：学生讨论解答并说明a为什么不能等于0；教师肯定答案am÷am=1，当法则中m=n时公式同样适用，即a0=1（a≠0），任何不等于0的数的0次幂都等于1，教师着重说明当a=0时，式子无意义，并举例：50=1，（π-3）0=1，（π-3.14）0=1……

【设计意图】让学生体会由一般到特殊的思想，强化同底数幂除法的性质。

练习1 下面的计算对不对？若不对，应当怎样改正？

（1）x6÷x2=x3（x≠0）

（2）a3÷a=a3（a≠0）

（3）y5÷y2=y3（y≠0）

（4）（-c）4÷（-c）2=-c3（c≠0）

师生活动：学生回答并相互补充。教师要着重提醒学生分析题目的条件，能否运用同底数幂的除法的运算性质以及如何正确应用。

【设计意图】让学生通过辨析，加深对性质的理解和应用。

练习2 计算

（1）x8÷x2= （x≠0）

（2）（-a）10÷（-a）7= （a≠0）

（3）（ab）5÷（ab）2= （a≠0、b≠0）

师生活动：学生独立解答，学生代表板书，学生相互评价。

【设计意图】巩固同底数幂除法的运算性质。

3.理解、巩固整式除法运算法则

问题2 填空： ·6x3y=24x4y2

师生活动：师生共同分析，根据除法是乘法的逆运算可得：

24x4y2÷6x3y=24x4y2÷（6x3y）=4xy

【设计意图】让学生感受乘、除计算是互逆运算，这一关系也是检验的依据。

追问1 你能用文字语言归纳出单项式除以单项式的运算法则吗？

师生活动：学生先尝试通过被除式与除式之间系数、相同字母的关系，总结归纳出单项式相除法则，教师最后给出单项式相除的运算法则。

【设计意图】通过用文字语言归纳概括性质，促进学生对运算法则的深层次理解。

例1 计算：100ab3÷（-5ab）=

师生活动：教师板书讲解，巩固单项式除法法则，强调本课只研究整除的情况，在除式中所出现的一切字母，在被除式中不仅也要出现，而且其指数都分别要不小于除式中同一字母的指数。

【设计意图】巩固单项式除法法则，通过规范板书加深学生对法则的理解。

练3 计算

（1）-5a5b3c÷15a4b=

（2）（6ab+5a）÷a=

（3）（12a3-6a2+3a）÷3a=

（4）（12a3c-6a2+3a）÷（-3a）=

师生活动：学生独立解答，派代表板书，师生共评。利用乘、除运算的互逆关系得出多项式除以单项式的法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。教师着重提醒学生在进行多项式相除时，为避免发生符号错误，不妨把多项式看成“代数和”的形式。

【设计意图】此练习涉及到多项式除以单项式，难度稍大。先由学生自行尝试解决，通过练习，巩固单项式相除的方法，也暴露学生的知识弱点，有利于教学生成，实现教师再指导。最后根据乘、除互为逆运算，以分配律、同底数幂的除法为依据，由具体实例得到多项式除以单项式法则——转化为单项式除法，从而突破本节课的教学难点，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。

4.归纳小结

（1）教师与学生一起回顾本節课学习的运算法则：

①一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

例：-5a5b3c÷15a4b=-[13]ab2c

②一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

例：（6ab+5a）÷a=6b+5

（2）整式除法法则是如何得到的？在应用时需要注意什么？

【设计意图】引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，把握本节课的核心内容——整式的除法法则，进一步体会数式通性和从具体到抽象、逆向思考的方法在解决数学问题中的作用。

5.布置作业

必做题：教材104页练习第1、2、3题

选做题：教材习题14.1第6题

五、目标检测设计

1.计算：

（1）（2a）3·b4÷12a3b2

（2）[-23a7b5]÷[32a2b5]

（3）[65a3x4-0.9ax3]÷[35ax3]

【设计意图】考查学生对整式除法法则的理解和应用，其中第（2）小问涉及到符号问题，第（3）小问是多项式除以单项式。

2.（选做题）你能求出题目中被遮挡的部分吗？

[5xy =15x2y-10xy2]

【设计意图】考查学生对整式的除法法则的逆向应用。

六、课后思考

在整式除法的教学中，教师要注意渗透“转化”的思想方法，多项式与单项式相除的第一步是转化为单项式与单项式相除，第二步是转化为有理数的除法与同底数幂的除法，教学时要注意循序渐进，在涉及符号计算时要特别强调。教学中不仅利用乘、除法互逆运算关系得出整式除法运算法则，还可以强调今后计算解题时运用逆向思维检验答案。

同底数幂除法运算性质，是从某些具体的数与式的计算，归纳得到一般的式的运算性质，是一个由特殊到一般、从具体到抽象的归纳过程。教师在性质和公式的教学中，要重视上述归纳过程的教学。

在整式的除法中，单项式相除是关键。这是因为多项式除以单项式都要转化为单项式除单项式。实际上，单项式的除法进行的是幂的运算和有理数的运算，因此，幂的运算是学好整式除法的基石。整式除法课时可根据学生的实际情况而定，若划分为两个课时，可以将单项式除多项式作为单独一个课时，扩大课堂练习容量。

（责编 刘小瑗）