例谈“数形结合”在数学上的教学价值

陈菊华

“数形结合”是数学上的一种重要思想，亦是一种实用的数学方法。数形结合思想，是指借助图像使抽象的数学概念、复杂的数量关系直观化、形象化、简单化的一种数学思想，同时，复杂的形体也可以用简单的数量关系来表示。数和形是数学这个古老学科的研究对象，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。我国著名数学家华罗庚说：“数缺形失少直观，形缺数时难入微。”充分阐述了数与形的辩证关系。在解决实际问题中，数与形的相互渗透、相互转化，完美结合，能将抽象的语言与直观的图形联系起来，通过对图形的处理，解释数与形的内在联系，能有效开拓学生的思路，发展其数学思维，降低题目的难易程度，有效提高学生的解题能力。那么，“数形结合”思想在小学数学中有哪些教学价值呢？

一、数形结合，把抽象的概念教学直观化、形象化

数学概念是人类对现实世界中空间形式和数量关系的概括反映，简洁明了，具有高度的概括性和抽象性。当教师进行概念教学时，如果只是照本宣科、干巴巴地解释相关内容，由于概念的抽象和枯燥，会使得学生听得云里雾里，似是而非，知其然而不知其所以然，事倍而功半，教学效果不尽如人意。如果教师能通过“数形结合”这把思想利剑，借助直观图像，使教学过程形象化、直观化，就能帮助学生在轻松愉快的氛围中掌握相关知识。

如：一列火车21：30从广州出发，到第二天5：30到达目的地，这列火车一共行驶了多长时间？这题是在学生掌握了常用的时间单位（年、月、日、时、分、秒）及经过时间的计算的基础上进行考查的，主要考查学生对经过时间的计算能力。由于小学生年龄较小，理解能力较弱，解决起来困难比较大，尤其是涉及分段计时的情况。这题可借助钟表教具，让学生唤醒回忆：钟面上一个大格表示一个小时，21时就是时针走了一大圈又9个大格，并形象地理解0时和24时是在同一个点上。这时，再让学生动手操作，在钟面上表示出21：30，分针指向6，时针指向9和10的中间，由于到达时间是第二天的5：30，分针指向不变，计算时针从9到下一圈的5走了多少圈就是经过了多少小时，结合动手实践和钟面的形象性，学生能非常直观地得出答案。如果手头没有钟面，我们也可以用线段图来表示经过的时间（见图1）。

由线段图中我们可以清楚地看到，从21：30到24时经过了2小时30分，再加上第二天的5小时30分，火车一共经过了8小时，让具体的形和抽象的数字完美结合，相辅相成。

二、数形结合，让复杂的算理简单化、明了化

小学数学中，计算教学可谓占了大半江山，对算理的理解，有助于学生正确计算，如果连算理都不懂，试问如何正确解题？如：一根木料，锯成两段，要3分钟，如果锯成6段需要多少分钟？大部分学生看到这题都觉得很简单：锯成2段要3分钟，那么锯1段就只要1.5分钟，6段就只要9分鐘。那么的理所当然，那么的理直气壮！只有个别学生保持了清晰的头脑，在题目下方画了示意图： 发现锯2段只需要1次，继续画图：发现锯6段只要锯5次，每次要3分钟，5次只要15分钟。其实本题并不难，只是相当具有迷惑性，关键在于学生有无意识地画出示意图，若能结合示意图，答案一目了然。这么高的错误率也提醒了我，在教学中，应以清晰的理论来指导学生理顺思路，提醒学生遇到类似题型应结合示意图来理解算理，在此基础上掌握计算方法。数形结合，就是帮助学生正确理解算理的一种很好方式。

三、数形结合，使数量关系简洁化、明朗化

运用数形结合，往往能使一些复杂的数量关系明了、简洁，内在联系变得直观，降低了解题的难度，能有效提高解题的效率。如：两车同时从AB两地相对开出，甲车每小时行驶48km，乙车每小时行驶54km，两车在离中点36km处相遇，求AB两地的距离。这是一道较为复杂的行程问题，跟一般的行程问题不同，这题没有两车相遇时的时间。学生也想到了线段图（见下页图2）。

线段图是画出来了，却还是不能从中获取更多有用的信息，因为路程差这个条件实在是隐藏得太深了。若换个思路，假设两车是同向行驶，其他条件不变，则可以画出以下线段图（见图3）。

在这个线段图中，学生能非常容易看出乙车比甲车多走了2个36km，也就是路程差是2×36=72（km）。路程差这个难点解决了，我们再来看看，相同时间内两辆车行驶的路程为什么会相差这么多？那是因为甲乙两车每小时速度相差了54-48=6（km），因此，利用“相遇时间=路程差÷速度差”，算出了相遇时间，再用“总路程=相遇时间×速度和”计算出AB两地的距离。在分析此类较为复杂的行程问题时，我们经常把已知条件和问题及数量关系完整地体现在线段图中，但有时候图中并不能顺利找出隐藏的条件时，要根据实际情况，调整一下线段图（前提是不能改变题目意思），把数量关系转化为图形的关系，或把图形问题转化为数量关系的问题，都能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化繁为简，化难为易，调动起学生解决问题的积极性，提高学习自信心。

四、数形结合，将抽象的几何问题具体化、数量化

“数形结合”还能帮助学生建立起初步的几何直观，发展空间观念。几何直观可以帮助学生直观理解数学，在一些抽象的几何题中，如能运用数形结合方法加以分析，则事半功倍。

如：用一根长16cm的铁丝围一个长方形，怎样围能使围成的图形面积最大？由于铁丝具有自身的特性，不易折成长方形，想用铁丝来实际操作不太容易。这时铁丝的长度就是围成图形的周长，如果借助表格形式，把长方形的周长与长宽的关系显示出来，长方形的周长=（长+宽）×2，因此，只要长与宽的和是8cm就符合题意，列表如下（为了方便计算，长和宽的长度用整数表示）。

从表格中非常直观看出，当长方形的长和宽相等（已是正方形）时，围成的图形面积最大。这也从旁验证了周长相等的长方形和正方形，正方形的面积最大。教师在引导学生探索时，充分利用表格，以数辅形，让学生在观察、分析、比较、概括的过程中，学会使用这一思想方法。

数形结合思想的运用特别广泛，小到比多比少的问题，倍数问题、和倍差倍问题，大到复杂的行程问题、植树问题、鸡兔同笼问题等等，我们在解决问题的过程中都能发现“数形结合”思想的影子，教学价值相当高。苏联教育学家赞科夫说过：“教会学生思考，这对学生来说，是一生中最有价值的本钱。”古语亦有云：“授之以鱼，不如授之以渔。”在教学中，我们应认真研读教材，对整个小学阶段的各个知识点呈现的先后及呈现的方式有个完整的认知，熟悉每个知识点的来龙去脉，充分挖掘教材中的核心内容，适时将“数形结合”思想渗透于具体的问题情境中，合理地进行教学，教会学生“数形结合”的方法，有意识地培养学生自觉运用该思想的意识和能力，学会利用各种示意图如直观图、点子图、色条圖、线段图、集合图、数轴等等，把抽象的概念教学直观化、形象化，把复杂的数量关系明朗化、简单化，把复杂的形体关系具体化、数量化，有利于启发思维，开拓思路，实现形象思维和抽象思维的互补，提高解决问题的能力，提升学生的思维水平，让它真正成为一把利器，为后续学习高效服务。