单调测度空间上一般实值可测函数的泛积分

徐鹤萍，张承坤，李军

(中国传媒大学理学院，北京 100024)

1 引言

文献[1]中给出了基于普通加法和乘法的一般可测函数的泛积分的定义，在次可加的假定下，讨论了一般可测函数泛积分的线型性。本文将进一步讨论一般实值可测函数泛积分的基本性质，并给出相应的泛积分收敛定理。

2 预备知识

下面我们回顾单调测度和非负可测函数的泛积分的定义。

(1)μ(φ)=0且μ(X)>0；

当μ是单调测度时，(X，A，μ)称为单调测度空间。

取A={a}，B={b}，则

μ(A)+μ(B)=1.2≠1=μ(A∪B)=μ(X)。

显然，单调测度μ不具有可加性。

一个集函数μ称为

μ(A∪B)≤μ(A)+μ(B)。

下面我们回顾非负可测函数的泛积分的定义。

例2.2 在例2.1定义的单调测度空间中，我们设

可得

由此可知

所以泛积分不具有线性性。

非负可测函数泛积分有以下基本性质(可参见文献[10])。

一般地，基于单调测度的泛积分不具有线型。然而当单调测度是次可加的，则对应的泛积分具有线型性，即文献[1]中证明了以下结论：

3 一般实值可测函数的泛积分

本节中我们讨论一般实值可测函数的泛积分。

f=f+-f-，

其中，f+和f-分别表示f的正部和负部，即

文献[1]中引入了一般实值可测函数的泛积分的定义，我们陈述如下：

当f是非负可测函数时，定义3.1中泛积分的定义与定义2.1一致.因此，一般可测函数泛积分的定义是非负可测函数泛积分定义的推广。

5)若f是可积的，则f是可积的。

证明：由文献[10]中非负可测函数的泛积分性质，1)，2)显然成立。

3)对非负函数的泛积分有

当c≥0时，

当c<0时，

4)由f≤g可知，f+(x)≤g+(x)，f-(x)≥g-(x)，由性质2.1中的3)可得，

即

5)由于f+≤f且f-≤f，根据性质2.1(3)和f的可积性可知，

f+可积且f-也可积，因此可得f是可积的(在定义3.1的意义下)。

性质证毕。

注1：在经典Lebesgue积分理论中，f的可积性与f的可积性是等价的。

一般地，以上性质(5)的逆命题是不成立的，即由f的泛可积性推不出f的泛可积性。

由此可知f是泛可积的，而f却不是泛可积的：

性质3.2 设μ是次可加的。若f是泛可积的，则f是可积的。

证明：由于f是可积的，且μ是次可加的，由定理2.1[1]可得：

我们知道，一般地，基于单调测度的泛积分不具有线性性，当考虑的单调测度是次可加时，那么相应的泛积分具有线性性。文献[1]中得到了以下结果：

证明：由于μ是次可加的，f和g均可积，故f和g均可积；

由于f+g≤f+g，故f+g可积；

从而，

由非负可测函数的泛积分可得，

由此得

证明：由f=f++f-及非负可测函数的泛积分具有线性可知，

且

从而

以下我们陈述泛积分的Levi单调收敛定理和Fatou引理，证明与Lebesgue积分的证明一致(参见文献[13])。

定理3.4(Fatou引理)设fn：A→0，∞是非负可测函数列，则

以下我们给出泛积分的一类控制收敛定理：

2)存在A上的泛可积函数g，使得对每一n≥1，在A上几乎处处有fn(x)≤g(x)，

则f和fn都在A上泛可积，并且

证明：由fn(x)≤g(x)，分以下两种情况讨论：

1)fn(x)≤g(x)；

2)-fn(x)≤g(x)。

对第一种情况可得：g(x)-fn(x)≥0，

由Fatou引理得

由μ的次可加性可知，泛积分具有线性性，因此，

由Levi单调收敛定理，

即

对第二种情况可得：g(x)+fn(x)≥0，

由Fatou引理得

由μ的次可加性可知，泛积分具有线性，因此，

由Levi单调收敛定理，

综合一二两种情况即得

定理证毕。

根据外侧度的性质，本文中的性质2.1、定理2.1、性质3.1、性质3.2、定理3.1、定理3.2、定理3.3、定理3.4、定理3.5对基于外侧度的泛积分仍然成立。特别地，我们强调基于外侧度的泛积分具有线性性。