导引头动力学滞后下带落角约束的最优制导律

李宏宇，王旭刚

(南京理工大学 能源与动力工程学院, 南京 210094)

自20世纪末高新技术的大量应用以来，制导炮弹应运而生。制导炮弹与普通炮弹相比有突出的精确性与首发命中性，与导弹相比有良好的经济性以及毫不逊色的打击命中能力，所以近些年制导炮弹在军事领域中的地位越来越重要，被应用到许多常规弹药的领域甚至某些战术导弹原有的作战领域[1-3]，这就要求制导炮弹的作战能力不断提高，使其在实现远距离攻击的同时，依然可以做到在发射后实现精确打击。对于一定的初始条件，假设制导炮弹开始制导时的初始高度不变。制导的初始弹目相对的水平距离称为制导距离。本文通过研究发现制导距离是有一定范围的，超过最大制导值，脱靶量将不断增大，落点发散，本文将最大制导值称为制导范围。不同末制导初始条件，制导范围不同，本文通过改变制导律里的导航系数改变制导范围。

为了提高导弹的发射价值，Kim于1973年首次推导了具有落角约束形式的末制导律，此后国内外对带落角约束的末制导律的设计进行了广泛的研究，部分研究成果已经得到了实际应用[4,5]。加入落角约束是希望导弹能以大角度击中目标，但是大多数文献在研究、推导带落角约束的制导律时，过程中出现的俯仰角或者弹目连线角的三角函数与反三角函数时，为了计算与推导的方便性，均将其近似。本文为了增强制导律的准确性，在带落角的最优制导律的推导过程中，俯仰角与弹目连线角的三角函数与反三角函数均采用不近似原则。最优制导律在关于落角约束的制导中应用最广泛、最简单。近年来关于最优制导律的设计中考虑满足落点、落角和末端攻角的研究很多，但是由于实际测量中，存在各种滞后与测量误差，使落点与落角存在误差。许多人研究在自动驾驶仪动力学滞后和导引头测量滞后等方面减小误差[6]。因为在制导律计算时，速度矢量前置角由导引头提供，若想得到准确的制导律，一定要考虑滞后问题[7,8]。本文主要针对导引头引起的动力学滞后问题进行研究，将由导引头引起的时间滞后加入制导过程中，提高制导精度。

1 动力学模型

为设计一种提高制导炮弹能力的末制导律，首先要构建其动力学模型。本文所设计的制导炮弹一般攻击海上静止或者运动缓慢的目标。以制导系统开始工作时，炮弹与目标的连线在海平面的投影为x轴建立惯性坐标系，弹目基本关系如图1所示[9]。

图1中MT线为当前时刻的弹目连线，vm为制导炮弹飞行速度，θ为弹道倾角，q为弹目视线角，η为前置角，r为视线距离。

根据弹目基本几何关系：

(1)

(2)

(3)

q(t)=θ(t)+η(t)

(4)

(5)

假设目标静止，制导炮弹的速度为vm，加速度为am,且始终am⊥vm，ac表示输出控制。在不考虑各种滞后的情况下，am=ac[10]。如果制导律成立,根据Razumikhin理论在制导炮弹最后阶段即末制导阶段始值很小且线性ηm接近于零，所以上述式子可写成[11]：

(6)

(7)

图1 弹目基本关系

2 带落角的最优制导律

根据图1所示的弹目关系，可写出系统的状态方程为：

(8)

(9)

aM=u

(10)

根据系统状态运方程，运用拉式反变换与Schwartz不等式可得到最基本的最优制导律公式[12]：

(11)

因为本文寻求大落角、大毁伤，为了增加系统的准确性，本文在带落角的最优制导律的推导与计算过程中q、θ的三角和反三角函数值采用不近似原则，定义：

sin(q(t))=w

(12)

(13)

(14)

将式(13)、式(14)代入式(11)，得：

(15)

变换式(13)、式(14)得到：

(16)

(17)

将式(17)代入式(15)：

(18)

将式(13)、式(14)代入式(18)，得到：

(19)

3 扩展带落角约束最优制导律

传统的对固定目标最优的落角约束制导律，想达到满足约束条件的制导结果只能改变初始条件。而每个初始条件都有一个制导范围，超过这个范围制导律将达不到制导效果。相比之下制导炮弹的速度对制导结果影响不大。制导炮弹速度一般在一定范围内，而且在末制导阶段默认制导炮弹速度大小不变。所以本文讨论影响制导效果的主要因素为制导炮弹的初始俯仰角与制导距离。

当制导炮弹初始俯仰角不变，制导范围的最大值随末端约束的角度增大而减小。当制导炮弹的末端约束角不变，制导范围的最大值随初始俯仰角的增大而减小。根据最基础的带落角约束的最优制导律，当距离超出某值，带落点的制导律为满足落角约束，当达到tf制导结束时，落角达到落角约束误差1°以内，但制导炮弹距离目标还远远大于1 m，本文通过其变化特点，通过调节导航参数即约束比重，使扩大制导范围。

假定制导炮弹的初始条件为：初始制导炮弹俯仰角为30°，落角约束为75°，通过仿真计算得到，当制导距离达到3 150 m时，当制导炮弹时间到达tf时，制导结束时脱靶量线性增大，以5 m为基本单位，制导炮弹脱靶量随xr0的变化而变化规律如图2所示。

图2 传统的带落角约束的最优末制导律不同初始制导距离对应的脱靶量

可见在超出制导范围之后的脱靶量线性增长。根据脱靶量变化情况，可知在一定范围内，传统的对固定目标最优的落角约束制导律可以达到制导要求，但是超过这个范围，由于落角的影响，制导律能很好完成制导约束，但是脱靶量随着初始距离的增大而增大，所以为了在较远距离实现末制导，可以通过调整控制落点与落角的导航系数。因为落角随制导范围变化不大，所以保持控制落角的导航系数不变，将控制落点的导航系数设为变量b，随xr0的变化而变化。传统的对固定目标最优的落角约束制导律扩展为：

(20)

(21)

(22)

经实验可得到改进导航系数之后的制导律，制导范围明显增大。

虽然制导范围增大了，但是制导精度不够。因为制导律计算的原始数据来自于导引头，导引头导致动力学滞后，所以在改进落角约束最优制导律时，要考虑由导引头引起的动力学滞后。

图3 改进后带落角约束的最优末制导律不同初始制导距离对应的脱靶量

4 导引头动力学滞后下的制导律

导引头引起的动力学滞后，即在测量角度时有时间滞后。本文考虑在测量弹道角(炮弹速度矢量与基准线之间的夹角)时的时间滞后。用延迟的η(t-τ)代替理想的η(t)，τ为延迟时间，因为t时刻的q(t)是从η(t)得到的，根据式(7)：

q(t)、η(t)代表理想t时刻的弹目视线角与前置角；

q(t-τ)、η(t-τ)代表实际滞后情况下的弹目视线角与前置角。

(23)

所以η(t-τ)对应的q(t-τ)为：

(24)

根据式(6)，η(t-τ)对应的r(t-τ)为：

r(t-τ)=r(t)+vm·τ

(25)

将式(23)、式(24)、式(25)代入式(19)，有：

(24)

再根据式(1)、式(10)，可得到：

(25)

在计算、求其他制导炮弹的信息时，注意：

(27)

5 仿真

为了验证制导律的正确性，给定初始条件如表1所示。xm0、ym0表示制导炮弹初始制导位置坐标，xT、yT表示目标的位置坐标，θ0表示初始弹道倾角，qf表示末制导的落角约束。

当不考虑动力学滞后的时候，给定弹目坐标以及制导炮弹速度以及初始弹道倾角，传统的制导律能很好的求得落角，但脱靶量精度大于1。在考虑滞后时间因素后，图4表明，增加滞后时间项之后，通过调节滞后时间，脱靶量有明显的优化，从1.072减小到 0.020 513。

表1 制导系统初始条件

图5、图6表示，本文推导的制导律可以实现在增大落点精度的同时，落角精度基本保持不变。

图4 弹目运动轨迹对比

图5 弹目相对距离变化对比

图6 制导炮弹弹道倾角变化对比

6 结论

1) 本文针对扩大的制导炮弹的应用领域对制导炮弹提出的新要求，在大角度的三角函数与反三角函数不近似的情况下对传统的最优制导律的基础上加入了落角约束，提高了制导炮弹的打击效果。

2) 为了增大制导炮弹的射击自由度与初始状态的灵活选择度，在制导律中通过改变导航系数增大了制导距离。

3) 因为制导计算推导的原始数据来源于导引头，制导精度不足，考虑了滞后因素，通过调节滞后时间满足了落角要求，达到很好的落点。