驻足解析，铸造数学思维品质的内在需要

崔小兵

导读

思维能力的形成需要慢慢濡化和涵养的过程，仓促而匆忙的课堂是不会有精细思考的。只有必要时适时驻足，才能将学生的思维引向无限的时空，向数学知识的纵深跃进，呈现出异样的特质。本文提出要驻足于留白处，沉淀思维意识；驻足于疑惑处，激活思维动力；驻足于断裂处，激活思维质态；驻足于延展处，扩展思维范畴，为铸造学生良好的思维品质奠基。

著名教育家杜威曾经说过：“学习的宗旨就是要学会思维，养成清晰、细致、透明的思维习惯。”思维能力的形成需要慢慢濡化和涵养的过程，只有必要时适时驻足，才能将学生的思维引向无限的时空，向数学知识的纵深跃进。

一、驻足于留白处，沉淀思维意识

数学教材中很多知识都是凝结在表面信息背后的，往往不会被学生轻易地发现，教师就需要借助敏锐而精准的眼光，挖掘这些信息背后的价值，才能将学生的思维引向知识的真相，帮助学生积累基本的数学知识，渗透相关的思维方法。

如苏教版《数学》三年级上册关于周长有这样一道题：你能在方格纸上画出周长为16厘米的正方形或长方形吗？你能画出不同的长方形吗？教师先组织学生自主绘制图形，不少学生就得出了4种画法，交流中他们都懂得：先用16÷2=8，得出长和宽的和，然后运用拼凑法，得到7+1、6+2、5+3、4+4这4种不同的画法；教师再引领学生运用这种思路画出周长为24的长方形或者正方形，学生很快得出可以有6种画法；随后，学生进行深入观察对比，探寻出画的种数与周长之间的关系，即周长除以4就可以得出多少种画法，学生纷纷运用12、20等数字进行验证。然后，教师再组织学生画出边长为22厘米的长方形，由于22不能被4整除，很多学生陷入了困境，并引发了认知冲突，唤醒了学生的探究欲望，教师则点拨学生以原始列举的方法尝试。此时，学生发现也有5种不同的画法，并罗列出一系列不能被4整除的数据，如14、18等，从而得出最后的结论：求最终的种数，就是用周长除以4，商是多少就有多少种画法，与余数无关。

教学这一内容，教师依托教材但又不拘泥于教材，充分利用教材中的习题，让学生在积极主动思维的层面上，借助于“尝试、联系、猜想和验证”的思维过程，探寻知识所蕴藏的内在规律，在激活学生认知规律的基础上促进学生思维品质高效发展。

二、驻足于疑惑处，激活思维动力

数学教学过程是多元化和不确定的，师生互动中学生常常会产生很多怪异性的“真知灼见”，与教师设置的标准化思维大相径庭。此时，教师不妨驻足于此，鼓励学生表达自己的认知，“暴露”真实的思维过程，从而在教学现场辨析“错误”，实现思维碰撞，强化知识的理解和掌握。

如在教学“乘法分配律”时，教师总是习惯先讲述分配率的内涵，并尝试运用字母表示，继而要求学生在机械模仿和生硬记忆中进行巩固。有一位教师通过这样的方法进行执教，首先，出示算式：（ɑ+b）×c、ɑ×c+b×c，利用翻转卡片的方式引领学生用左式推导出右式。此时，有学生质疑：将（ɑ+b）×c括号中加号换成其他运算符号，是否也可以这样分配呢？面对这样的困惑，教师并没有立即公布答案，而是紧扣这一生成性资源，将引导浸润在学生的思维路径之中，组织学生通过列式进行猜想。猜想一：（ɑ-b）×c=ɑ×c-b×c？猜想二：（ɑ÷b）×c=ɑ×c÷b×c？猜想三：（ɑ+b）×c=ɑ×c×b×c？猜想四：（ɑ+b+c）×d=ɑd+bd+cd？学生在后续的验证中发现：猜想一和猜想四这两个等式是成立的，而猜想二和猜想三则是不成立的。

在這一案例中，教师对学生的质疑进行了深入的再创造，巧妙地引导学生罗列出四种猜想，对比实践，在解析的过程中构建了直观的模型，对乘法分配律的本质形成了更加清晰而通透的感知，培养了学生的结构化思维。

三、驻足于断裂处，唤醒思维质态

小学数学教材中的知识基本都依循着“前有伏笔，中有突围，后有延续”的原则，编者围绕着具体知识紧扣相应的逻辑，将基本的概念、方法和原理统整起来，形成有机的体系。但当学生开始一个新领域知识的学习时，其认知经验还相对缺乏，还会延续着先前的思维和方法，这就在很大程度上造成知识的断层。这就需要教师为学生搭建“脚手架”，帮助学生消除能力和知识上的断层，整体地建构知识，促进学生的认知理解。

以教学“分数的意义”为例，笔者进行了这样的教学：首先，尊重原有经验，理解分数[14]。教师组织学生运用不同的图来表示自己理解的[14]。学生尝试将正方形、圆形、线段平均分成4份，并标注其中一份来表示[14]。其次，紧扣认知，扩展范畴。教师出示4个圆，并将其中一个圆标红，组织学生思考：标红的这个圆如何表示？让学生认识到这个标红的圆虽然是一个完整的“圆”，但将全部的4个圆看成一个整体，这个完整的圆就成为了整体的[14]。教学至此，学生貌似已经理解了分数的意义，但这只是局限在基本的层次上，如果没有适度的引领，学生的思维就会局限在这一思维的断层上。最后，我们要重构分数知识，弥补断层，深度感知“一个整体”与“[14]”的内在关系。教师分别出示了8个正方体、12个三角形以及16个五角星，要求学生分别运用涂色的方式来表示各自的[14]。在学生交流分享之后，教师继续进行追问：从这三道题来看，[14]可以表示2、3、4不同的数字。那[14]还可以表示其他数字吗？学生结合自己的思维历程，作出判断：只要作为整体“1”的量是一个4的倍数都可以。教师穷追猛打：那这个整体“1”的个数可以变得更小吗？比如如何来表示0.4千克的[14]呢？

在这一案例的教学中，教师正是抓住了学生在理解知识上的断层，即从理解一个单位1的[14]和[14]个，走向一个整体的[14]可以是1、2、3……在这一断层处，教师给予了学生充分的认知空间，让知识在学生不断锤炼的过程中加深、延伸。而教师则借助于灵活的追问、智慧的质疑、适度的点拨，使得学生在知识表征中不断地碰撞、思辨、概括、解释，走向对分数概念本质的理解，有效地发展了学生思维辨析能力。

四、驻足于延展处，扩展思维范畴

很多教师在进行数学教学时，往往视野不够开阔，关注的范畴相对逼仄，他们只能紧扣教材中的内容展开教学，认为数学教学只需要在课堂中教完教材中的内容就可以了。事实上，课堂教学结束并不意味着数学知识探索的暂停，很多学生在获取了全新知识之后，与原始知识积累生发出交融碰撞，迸发出全新的问题，强化学生对解决问题策略的探寻，赋予了数学知识和信息以生长的力量。

如在教学四年级下册“运算律”时，教师展开了这样的教学：首先，出示7+5=5+7，引导学生发现这个等式的特点，让学生初步形成认知，即加法算式中，将两个加数的位置调整后，它们的和有可能不变。随后，教师组织学生以举例验证的方式进行猜想，有学生列举了“13+16=16+13”发现等号两边的结果相同，说明13和16交换位置之后和不变……通过一系列数据的举证，教师相机向学生明确“加法交换律”的概念。紧接着教师进行引导：我们从一个特殊的例子出发，借助于猜想和验证的方法得出了加法交换律，你能从中形成什么新的猜想吗？学生纷纷提出：既然加法有交换律，那减法、乘法和除法呢？这种由此及彼的思维转移与辐射，就是一种发散性思维的体现。学生通过自主举例验证，发现乘法也具有交换律，而减法和除法则没有交换律。然后，教师继续引导学生转换视角，学生则再次提出：如果在加法里，有3个加数、4个加数或者更多个加数呢？学生将其作为新的猜想和印证资源，获得了属于自己的新结论。

这一板块的教学，教师并没有止步于教材的内容，而是向学生提出了联想性的内容，将学生思维拓展到更广阔的层面，丰富了学生内在的认知规律，建构起了完整而丰富的数学意义。

数学教学中的思维发展绝不是一蹴而就的，需要在驻足过程中深度思索，在更深入、更全面的历程中，学生从感性思维走向理性思维，再逐步转向理性精神，实现对数学知识的深刻理解和积累内化，引领学生思维向更深处发展。

（作者单位： 江苏省苏州高新区实验小学校）

□责任编辑 周瑜芽

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