碰撞在质心系中遵循的普遍规律

翟 爽

(北京市日坛中学 北京 100020)

在地面参考系中，多个质点相互作用时的运动规律是比较复杂的.例如：对于不同条件下的两体碰撞问题，我们需要对碰撞前后的动量和机械能进行分析，通过复杂的计算来判断碰撞前后物体运动的变化情况.本文从质心系中看问题，发现两体碰撞前后，物体的速度及动量变化遵循非常简单的规律.

1 引入质心系

如图1所示，空间有两个质点1和2.根据牛顿第二定律和牛顿第三定律知：在不受其他外力情况下，两个物体相互作用时，普遍遵循如下的方程

(1)

(2)

图1 空间两质点相互作用

将式(1)和式(2)相加得

(3)

上式可以变形为

(4)

如果把这个方程看作是某个质点的运动方程，并称这个特殊的质点为质心,如图2中的c,则这个质点的质量mc和位置rc分别为

mc=m1+m2

(5)

(6)

即质心的质量为两个质点的质量之和，质心的位置为两个质点的“平均位置”.

图2 引入质心

若m1=m2，则

质心在两质点正中间；当m1>m2时， 质心的位置离质点1比较近，当m1

把两个质点看成一个整体，当这个质点组不受外力，只有两个质点之间的内力相互作用时，无论是碰撞前、碰撞后或者是碰撞的过程中，式(4)恒成立.即无论两个质点之间碰撞的内力多么复杂，质心总是保持静止或者匀速直线运动状态.

2 从质心系中看两体碰撞

2.1 从质心系中看两体的位置

质点1相对于质心c的位置r1c为

r1c=r1-rc=

(7)

质点2相对于质心c的位置r2c为

r2c=r2-rc=

(8)

可以看出矢量r1c与r2c互相平行，这说明质心是处于两个质点的连线上,如图3所示.两个矢量的长度之比为

即质心到质点1，2的距离与质点1，2的质量成反比.且质心相对于质点1，2的位置不会因为坐标系的选取不同而不同.

图3 位置关系

2.2 从质心系中看碰撞前后的速度变化规律

由于质点组不受其他外力，只有两个质点之间的内力相互作用，由式(4)可知：质心总是保持静止或者匀速直线运动状态，即质心处于平衡状态.

若将直角坐标系的坐标原点选取在质心上，即以质心为参考系(简称质心系)，那么这个参考系为惯性参考系.

设碰撞前质点1和2相对于地面的速度分别为

碰撞后质点1和2相对于地面的速度分别为u1,u2.根据动量守恒关系，有

m1v1+m2v2=m1u1+m2u2

(9)

牛顿根据碰撞过程中动能的损失情况，引入了恢复系数e，其定义为

(10)

实验测量表明，恢复系数的值处于0和1之间[1].当e=0时，碰撞后的动能损失最大，称为完全非弹性碰撞；当e=1时，碰撞后的动能没有损失，称为弹性碰撞.由式(9)和式(10)得到碰撞后的速度为

(11)

(12)

将式(7)和式(8)对时间求导得到碰撞前质点1和2相对于质心的速度v1c和v2c,即

设碰撞后质点1和2相对于质心的速度为u1c和u2c，则

当e=0时，u1c=u2c=0,即碰撞后的质点1和2相对于质心系的速度为零，说明碰撞后两个质点粘在一起，且相对质心静止.

当e=1时，u1c=-v1c，u2c=-v2c，这表明在质心系中去观测两体的弹性碰撞，两质点在碰撞前后相对于质心c的速度大小相等，方向相反.

此外，因为质心系中弹性碰撞前后质点的速度大小不变，所以质点的动能也保持不变.

2.3 从质心系中看碰撞前后的动量变化规律

碰撞前，质点1和质点2相对于质心的动量为

可以看出m1v1c=-m2v2c，这说明在碰撞前，从质心系中观测质点1和2的动量是大小相等方向相反的，两者之和为零.

碰撞后，质点1和质点2相对于质心的动量为

对于完全非弹性碰撞，e=0时,有

m1u1c=m2u2c=0

即两质点都静止在质心处，两者之和为零.

对于弹性碰撞，e=1时，有

m1u1c=-m2u2c

即从质心系中观测质点1和2的动量，还是大小相等方向相反，两者之和为零.且m1u1c=m2v2c，m2u2c=m1v1c，这说明质心系中碰撞的两个物体，碰撞的效果是两个物体的动量进行交换.

3 结束语

从质心系中看两体发生完全非弹性碰撞，碰后两物体都将静止在质心处.从质心系中看两体发生弹性碰撞，遵循如下规律：

(1)从质心系中观测两个物体碰撞前后的速度时，其大小均不变，但是方向变为反向.

(2)从质心系中观测两个物体的动量时，碰撞前后总动量始终为零，且碰撞的效果是两个物体的动量互换.

(3)从质心系中观测两个物体的动能时，碰撞前后，两个物体的动能均不变.