基于MATLAB的电场空间分布可视化教学研究

莫 增 崔春雨

(陆军军医大学基础医学院 重庆 400038)

史书杰

(中国解放军76146部队 广西 桂林 541500)

1 引言

物理学是高等院校理工类专业的一门必修基础课， 其中电磁学是其重要的组成部分. 由于电场分布不能被直接观察，电场的概念十分抽象、难以理解，怎样形象地描绘出电场矢量对于学生而言一直是个难题.因此，在电场的学习中不仅要求学生具有较高的逻辑思维能力和空间想象力，还要求教师会借助计算机等辅助工具进行三维构图将电场线等描绘出来，便于学生更直观地理解电场矢量的相关理论.

随着计算机技术的广泛应用，具有高效、可视化等优点的科学计算软件MATLAB近些年来广为流行，把它应用到电场教学中可将抽象的场可视化，可以使抽象的电磁场分布更加形象，从而帮助学生更好地理解场的概念和性质[1].利用MATLAB的图形功能绘制矢量线(电场线)和等势线等，可以帮助学生更好地理解抽象的场[2].下面通过几个典型的例子介绍MATLAB计算软件在电场课程教学中的应用，使学生更加直观地理解电场的性质.

2 MATLAB建模

2.1 一对点电荷在二维平面内电势和电场强度分布

设电荷量分别为q1和q2的一对点电荷位于坐标轴的正反两个方向,与原点的距离都为a,应用电磁场理论可以求出这对点电荷在空间任一点产生的电势U以及电场强度E.

应用MATLAB编程，在GUI界面输入这对点电荷的电荷量以及电荷间距，即可以得到电场及等势面分布图,如图1(a)所示.其中：箭头方向表示电场强度矢量线，闭合曲线表示等势线，等势线的疏密程度可表示电场强度大小.

通过图1(a)可以得出二维平面上任一点的电势和电场强度.距离正点电荷近的位置电势高，距离负点电荷近的位置电势低.

为了直观地描绘一对电荷所在平面内的电场强度大小，通过MATLAB编程，采用surf函数绘图可以得到电场强度在平面内的分布状况,如图1(b)所示.

图1 平面内点电荷电场强度和等势面分布

特殊地，当q1+q2=0时，为电偶极子的电场分布.

2.2 均匀带电球壳在二维平面内电势和电场强度分布

设电荷量为Q的均匀带电球壳圆心为O，半径为R,应用电磁场理论可以求出均匀带电球壳在空间任一点产生的电势以及电场强度.由于均匀带电球壳电荷分布具有球对称性,所激发的电场也是球对称的，所以用高斯定理比较简单.设与球心距离为r的球面上电场强度大小为E，电势为U.

根据高斯定理

取无穷远处的电势为零，取一条从P1开始的电场线作为微积分路径，如图2(a)所示，则P1的电势为

r=R时，球壳外表面的电势为

取一条从P2开始的电场线作为积分路径，如图2(b)所示，则P2的电势为

图2 均匀带电球壳的电场在空间的分布

应用MATLAB编程，在GUI界面输入均匀带电球壳的半径，即可以得到电场及等势面分布图,如图3(a)所示.其中箭头方向表示电场强度矢量线，闭合曲线表示等势线，除等势线的疏密程度之外，箭头的长短也可表示电场强度大小.

通过图3(a)可以得出二维平面上任一点的电势和电场强度.截面上的电场和电势分布可以用来表示球壳的电场特征量.球壳表面及其内部电势处处相等，而球壳以外的电势变化与球壳的电性有关，若球壳带正电，则从球壳沿电场线往外电势逐渐降低，若球壳带负电，则从球壳沿电场线往外电势逐渐升高[3].

为了直观地描绘均匀带电球壳截面所在平面内的电场强度大小，通过MATLAB编程，采用三维建模的方法可以得到电场强度在平面内的分布状况，如图3(b)所示.

图3 平面内带电球壳电场强度和等势面分布

2.3 三维空间内均匀带电圆环的电场强度分布

设线电荷密度为ρ的均匀带电圆环圆心为O，半径为a，R为A和B点之间的距离，应用电磁场理论可以求出均匀带电圆环在空间任一点产生的电场强度E[4].

圆环上一点电荷元产生的电势

式中

如图4所示，取A点的坐标为(x,y,z)，B点的坐标为(x1,y1,z1)，则有如下式

x1=acosθy1=asinθz1=0

则

可得出任一点的电势

图4 均匀带电圆环的电场在空间的分布

应用MATLAB编程，通过GUI界面输入圆环半径以及截面半径，即可以得到电场强度分布图,如图5所示[5].其中：箭头方向表示电场强度矢量线，其疏密程度表示电场强度的大小.通过图5可以得出三维空间内任一点的电场强度.从圆环中心沿圆环轴线向外，电场强度先增大后减小[6].

图5 均匀带电圆环的电场强度分布图

2.4 三维空间内均匀带电杆及其复合体的电场强度分布

如图6所示，设均匀带电杆AB的线电荷密度为λ，由库仑定律可知C点的电场

(1)

利用图6中的微元关系dlsinα=rdα可以求得

(2)

(3)`

图6 有限长均匀带电细杆的电场叠加

对上面的微分表达式在线段AB上积分即可求得带电细杆AB在点C处的电场强度表达式

(4)

(5)

建立如图7所示的三维直角坐标系，取平行于水平边向右为y轴正方向，垂直于纸面向外的方向为x轴的正方向，z轴垂直于xy平面向上.设带电杆长为2l，位置与y轴重合并关于xOz平面对称，场点P的坐标为(x,y,z)，其中

(6)

l1=l+y

(7)

l2=l-y

(8)

图7 均匀带电杆的电场在空间的分布

将式(6)、式(7)和式(8)代入式(4)和式(5)可得带电杆AB在C点产生的场强在y方向和zx方向的分量分别为

(9)

(10)

由此可知此时带电杆AB的电场在x和z方向的分布表达式

(11)

(12)

应用MATLAB编程，在GUI界面输入带电杆的长度，即可以得到电场分布图(图8).黄色线表示均匀带电杆及其复合体，蓝色线表示电场强度矢量线[黄色、蓝色在图(a)中已标示出，图(b)、(c)、(d)与(a)相同].

图8 三维空间内带电杆及带电杆复合体电场分布

通过图8可以得出三维空间内任一点的电场强度.当带电杆带正电荷时，距离带电杆近的位置电势高，距离带电杆远的位置电势低，当带电杆带负电荷时，距离带电杆近的位置电势低，距离带电杆远的位置电势高.

图8从单杆模型推广到多杆模型乃至四棱锥和四棱柱，使分析带电杆复合体甚至不规则复杂带电体的电场分布成为可能.

最后，我们制作了电场模拟程序的图形化界面(图9).通过改变物理模型的特征值，例如点电荷距离、带电体长度等参数，可以改变电场演示效果，增强教学应用的灵活性.

图9 程序界面

3 结束语

本文采用MATLAB进行电磁场可视化教学，避免了繁琐的数学计算，结合具体事例，着重介绍MATLAB绘制电场强度分布图的应用，将抽象的场形象、具体化，可有效地帮助学生更好地理解和掌握电磁场概念和性质，帮助教师改善电磁场章节的教学效果，为电磁学的教学研究开辟一条新的途径.