极坐标方程在解决与焦点有关的圆锥曲线问题中的应用

李秀梅

摘 要 学生们在解决极坐标方程在解决与焦点有关的圆锥曲线问题时，需灵活运用极坐标方程与圆锥曲线问题。

关键词 高考；圆锥曲线；极坐标方程

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）31-0219-01

近五年高考全国卷每年出一道大题考查极坐标、参数方程或绝对值不等式，大部分学生选择极坐标参数方程，解题方法都是把极坐标参数方程化为直角坐标求解，不仅解题过程繁琐，也失去了考查极坐标参数方程的目的。其实极坐标方程在解决直角坐标系下与焦点有关的圆锥曲线问题中有广泛的应用。

一、圆锥曲线的极坐标方程

椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：平面内到一个定点（焦点）的距离与到一条定直线（准线）的距离的比等于常数e的点的轨迹。以椭圆的左焦点（双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系。

椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： 。其中p是定点F到定直线的距离，p>0，当0

当e>1时，方程表示双曲线，若ρ>0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ<0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线。

二、圆锥曲线极坐标方程的应用

（一）焦点弦问题

【典例1】（2008年海南卷）过椭圆 的焦点 作一条斜率为2的直線与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求 的面积。

简解：首先极坐标方程中的焦点弦长公式 求弦长，然后利用公式 直接得出答案。

注：用直角坐标求弦长过程比较烦杂（请参考高考解析）。

【典例2】（2009理科12文12）已知椭圆 的右焦点为 ，右准线为 ，点 ，线段AF交C于点B，若 ，则 =（ ）

A. B. C. D.

解析：选取右焦点 为极点，由题意知： = 设AF与X轴所成的角为 ，由极坐标方程可得 ，又因为 所以， ，解得 ，所以 。

（二）定值问题

【典例1】经过椭圆的焦点作两条相互垂直的弦AB和弦CD，求证 为定值。

证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为 ，又设 则代入可得 ， ，则

注：此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立，注意使用的范围。

【典例2】（2007重庆理改编）中心在原点 的椭圆 ，点 是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点 使 。证明： 为定值，并求此定值。

解析：以点 为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为： ，设点 对应的极角为 ，则点 与 对应的极角分别为 、 ， 、 与 的极径就分别是 、 与

因此 ，而在三角函数的学习中，我们知道 ，因此 为定值。

点睛：在极坐标系中 、 、 分别对应一个极角，而在解析几何中，焦半径对应多个参数的二次关系，这就是极坐标解圆锥曲线问题的优点。

参考文献：

[1]语数外学习.中学数学月刊.