抓住关键学好函数的单调性

曹振财

摘 要 在函数教学中要抓住关键，掌握好知识，就能熟练解决与函数的单调性有关的问题。

关键词 抓住关键；函数；单调性

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）31-0214-01

对于一些高次的或非常規的与函数的单调性相关的问题，要借助导数与函数的单调性的关系来求解。只要抓住关键，用好知识，就能熟练解决与函数的单调性有关的问题。

一、函数单调性的定义及应用

在函数的单调性的定义中有三个条件：

1.给定区间内任意两个自变量 与 的大小；

2.对应函数值 与 的大小；

3.函数的单调性。

在这三个条件中“知二定一”，即若已知给定区间内任意两个自变量 与 的大小和对应函数值 与 的大小，则可确定函数 在该区间上的单调性；若已知给定区间内任意两个自变量 与 的大小和函数的单调性，则可确定对应函数值 与 的大小；若已知函数的单调性和函数值 与 的大小，则可确定 与 的大小。抓住这个关键，应用起来就得心应手。

应用举例如下：

题型一：判断函数的单调性

例1：已知函数 判断该函数在 的单调性，并给予证明。

分析：因为 故函数 上是减函数，可直接用定义证明。

解： 上是减函数，证明如下：

任取 则

即 ，

故函数 在区间 是减函数。

规律方法：在证明函数单调性时，通常先在给定区间内任取 ， 且 ，然后判断 与 的大小，由定义可判断函数的单调性，即由条件1，2知条件3。

题型二：比较函数值的大小

例2：设函数 是区间 上的减函数，试比较 与 的大小关系。

分析：已知函数 的单调性，比较两个函数值 与 的大小，可以转化为判断 的取值范围以及 与 的大小关系。

解： 且 在 上是减函数。

规律方法：此类题实质上是单调性的运用问题，在已知函数的单调性和自变量的大小时，可比较对应函数值得大小，即由条件1，3知条件2。

题型三：解抽象不等式

例3：已知 在定义域 上是减函数，且 ，求 的取值范围。

分析：由于函数 是定义在 上是减函数，且 ，所以由单调函数的定义可知 且 解此关于 的不等式组，即可求出 的取值范围。

解：由题意可得

规律方法：此类问题往往没有给出具体的解析式，只需根据函数的单调性，结合函数的定义域，直接由函数值的大小关系来比较自变量的大小，即由条件2，3知条件1。

由上例可见：与函数的单调性有关的问题，只要找准了三个条件中的两个，就可确定第三个，从而熟练运用函数单调性的定义解题。

当然，用函数的单调性的定义能帮我们解决一些简单的与函数的单调性相关的初等问题，对于一些相对复杂的函数单调性问题，还是要借助导数来求解。

二、导数与函数的单调性及应用

导函数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：

如果在某个区间内，都有函数 的导数 ，那么在这个区间上，函数 是增加的；

如果在某个区间内，都有函数 的导数 ，那么在这个区间上，函数 是减少的；

如果在某个区间内，都有函数 的导数 ，那么在这个区间上，函数 为常函数，不具有增减性。

但是，对于可导函数来说， 是函数 在区间 上单调递增（减）的充分不必要条件。即 在 上，若 ，则 在区间 上是增（减）函数；但若 在区间 上是增（减）函数，则 。

综上，只要抓住关键，用好以上的知识，就能熟练解决与函数的单调性有关的问题。