数学教学中学生发散思维的培养

刘佐学

【关键词】 数学教学；发散思维；培养

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A

【文章编号】 1004—0463（2018）06—0116—01

发散思维即求异思维，是指依据研究对象所提供的信息，使思维打破常规，对已知信息进行多方位、多层次思考，寻求变异，探索多种解决问题的方案或新途径的思维方式。在数学教学中培养学生的发散思维可以打破思维的僵化，开拓思路，打破思维消极因素的束缚，能培养学生思维的灵活性、广阔性和创新性。那么，如何在数学教学中培养学生的发散思维呢？

一、培养学生细致的观察能力是基础

观察是人们全面、深入和正确地认识事物的一种过程，是学生增长知识的主要途径。 注重以扎实的基础知识引导学生多层次、多角度观察问题是克服思维定势，培养思维广阔性的前提，也是培养学生发散思维的基础。

例1 m为何值时直线x-y+m=0被曲线x2+y2=5所截得的线段之长为2

？

分析：大多数学生按平常习惯的思路来解此题，就是把直线方程代入曲线方程，求出它们的交点坐标（或坐标之间关系），再借助韦达定理和距离公式来解，这是受思维定势的潜在影响。其实，本题所给的条件具有新的特点：曲线是圆，半径为；直线x-y+m=0被圆截得的弦长为2，即为圆的直径。于是，直线x-y+m=0必过圆心，所以m=0。实践证明，精细观察力的训练，较好地揭示了被掩盖的数学关系，使学生思维更加具有灵活性和开阔性。

二、多种形式的训练是重要途径

1. 对题型的发散。题型发散是将由发散点出发的典型问题，变换其题型，进行发散思维。一般数学的发散题型有判断题、填空题、选择题、证明题和解答题等。题型发散可增大学生知识的覆盖面，训练他们计算的正确性和熟练程度，并培养他们严密的逻辑推理能力及简明、正确的书面表达能力。

2. 对条件的发散。例2 ？驻ABC为直角三角形，∠ABC=90°，CD⊥AB于D（图1），试给出适当的条件，可以确定AC的长.

分析：让学生尽可能变化已知条件，从不同角度、用不同知识来解决问题。这类开放性题目的训练能使学生感觉到是自己出题自己解答，训练了学生的想象力，开拓了学生的知识面，加深了对知识横向联系的认识。

已知条件的给法有多种，现仅考虑每次给出两条边的情况，一般有如下十种

（1）AD，CD；（2）AB，BC；（3）AD，AB；（4）AD，BD；

（5）AB，BD；（6）CD，BD；（7）BD，BC；（8）BC，CD；

（9）AD，BC；（10）AB，CD

由（1）或（2）直接应用勾股定理即可求出AC，由（3）、（4）或（5）可用直三角形相似列出比例式求出AC，由（6）、（7）或（8）则需要你利用勾股定理及直角三角形列出比例式可求出AC，由（9）或（10）需要列出相应的方程即可求得AC。

3. 对结论的发散。例3 已知⊙O内切于四边形ABCD，AB=AD，连结AC、BD。请画出图形，图中除A，B，C，D，O五个字母外，不再标注其他字母，不再添加任何辅助线，由这此条件可推出哪些结论？

分析：这类开放性题目由于没有固定结论，让学生尽可能多地猜想未知结论，并去证明其未知结论，达到训练学生思维的深刻性，加深对知识纵向联系的认识。

要画出准确的图形（图2）必须依赖于有关的正确结论，在画出准确图形的基础上，学生的结论也是各异的。例如

（1）A，O，C三点共线；（2）∠ABC=∠ADC；（3）AC平分∠BAD；（4）BC=CD；（5）AC⊥BD且平分BD；（6）S四边形ABCD=AC·BD；（7）？驻BAC？艿？驻DAC；（8）∠FAC+∠DBA=90°

4. 对图形的发散

例4 ABC和ADE都是等腰直角三角形，M为EC的中点，求证？驻BMD为等腰三角形（图3）。

学生很容易就能证明本题，但教师提出将等腰直角三角形ADE绕A点按逆时针方向旋转45°（图4）或90°（图5），结论仍然正确吗？（结论仍正确）

通过？驻ADE的位置变化，产生一系列新的图形。了解几何图形的演变过程，可以举一反三，触类旁通。通过演变过程了解它們之间的区别和联系，从而找出特殊与一般之间的关系。

编辑：谢颖丽