分数阶谐振无线电能传输电路模型的特性分析

夏久林

(重庆科创职业学院 基础教学部，重庆 402160)

无线电能传输技术的诞生和快速发展，为电动汽车、平板、手机等智能设备的充电提供了新的选择[1-2]。尤其是具备中等距离传输能力的谐振无线电能传输技术，其设备成本低、结构简单，且传输过程中的功率等级较高。因此，在无线充电领域具有广阔的应用前景[3-5]。然而，目前谐振无线电能传输技术中有关于电磁场相关特性的探索仍不够深入和彻底，阻碍了该技术的进一步发展与应用[6-7]。本文结合分数阶微积分理论，在建立分数阶谐振无线电能传输电路模型的基础上，从电路、时间角度出发，对该模型电能传输过程中存在的分数阶电磁场特性进行了分析[8-9]。

1 电路模型建立与分析

以整数阶谐振无线电能传输电路模型为基础，引入分数阶微积分理论，建立分数阶无线电能传输电路模型，如图1所示[10-11]。其中，vin代表的是输入电压源，i1(i2)代表的是初级(次级)回路电流，v1(v2)代表的是初级(次级)线圈电压，R1(R2)代表的是初级(次级)线圈内阻；L1(L2)代表的是初级(次级)线圈等效电感，对应的阶数为β1(β2)；C1(C2)代表的是初级(次级)线圈串联谐振电容，对应的阶数为α1(α2)；M代表的是互感，对应阶数为γ；RL则代表的是负载电阻。易知，模型的各级均形成了RLC串联电路，而线圈L1、L2之间形成了一个分数阶互感电路。

图1 本文建立的分数阶谐振无线电能传输电路模型

由Kirchhoff电压定律可知，各级回路电流方程为

(1)

其中，i1和i2的值又可根据伏安关系计算得到。假设该系统的初始状态为0，并用ω表示该模型的传输角频率，Z1(Z2)表示初级(次级)自阻抗，ZM表示互阻抗。则经Laplace变化(分数阶)后，可以进一步得到

(2)

(3)

(4)

为了方便书写和进一步简化分析，令电容(电感)为分数阶(整数阶)，初级(次级)线圈内阻皆为R，并省略s，最后可得

(5)

(6)

ZM=jωM

(7)

相应的初级(次级)回路电流为

(8)

可知初次级线圈L1和L2存在耦合时，初次级回路的反射阻抗(电阻、电抗分量)分别为Z12=(ωM)2/Z2和Z21=(ωM)2/Z1。其中，反射电阻与电抗分量在该模型中分别对有功功率及线圈自谐振频率造成影响[11]。此外，可以注意到反射阻抗与线圈间距成反比。因此，线圈间距越小，反射阻抗对传输系统的影响则越大。

在自谐振和整数阶状态下，谐振频率由于线圈反射阻抗无电抗分量而受到较小的影响；而在分数阶状态下，令Z1(Z2)虚部为0，则L1和L2的自谐振频率可由式(9)得到

(9)

令L1=L2=1 mH，C1=C2=1 μF，R=1 Ω，则可得到如图2所示的自谐振频率、阻抗与电容阶数α1和α2的关系曲线。易知，自谐振频率的最大值出现在电容阶数α1、α2靠近0的某个值处，且该频率值大小与电容阶数成负相关；而阻抗幅值整体呈下降趋势，在电容阶数略大于1时迅速减小并达到极小值；之后迅速略微增大，维持在某个较小值附近。

图2 自谐振频率、阻抗同电容阶数α1、α2的关系曲线

2 传输特性分析

无线电能传输电路靠初、次级线圈间电磁场的耦合共振传递能量，其耦合谐振模型(共轴线圈)如图3所示。其中，用N1(N2)代表初级(次级)线圈的匝数，d代表两者间距，b代表线圈半径。

图3 本文无线电能传输电路模型的耦合谐振模型

易知，L1利用时变电流I1可产生磁场B，进而借助互磁通φ和L2交链。根据法拉第电磁感应定律，L2上某点M的矢量位(由I1产生)为

(10)

结合式(8)可以进一步得到互磁通

(11)

针对磁通密度B(分数阶)，可由式(12)进行计算

B=α×A

(12)

图4 耦合磁通密度B随时间的变化趋势图

3 时域特性分析

从分数阶角度出发，引入参数σ(分数阶时间分量)，从而使时间维数保持一致

(13)

结合整数阶电磁波动方程，得到分数阶形式

(14)

其中，F(r,t)代表的是E(r,t)或H(r,t)。假设该模型的共轴线圈处于无源区域(J=ρ=0)，则由耦合磁场导致的平面电磁波传播方向为+z方向。进一步假设该电磁波朝x方向进行极化，则可得到解为

(15)

联立式(14)和式(15)可知，分数阶电磁波动方程所对应的瞬时解应为

f(z,t)=Re[F0e-jkz·g(t)]=aiF0E2γ(-ω2t2γ)cos(kz)

(16)

式中ai(i=x,y)代表各方向的单位矢量。因此，相应的电磁场强度瞬时解分别为

(17)

由式(17)可知，γ值将影响Mittag-Leffler函数的形式，进而影响g(t)和磁场强度H的波形。因此，本文做出了不同γ值对应的磁场强度波形，如图5所示。当γ=1时，磁场强度做等幅震荡；γ<1时，磁场强度随t值增加而出现震荡衰减；γ>1时，磁场强度随t值增加而震荡发散，其发散范围随γ值的进一步增加而增大。至于电场强度E，其振幅和磁场强度相差η(本征阻抗)倍，方向与磁场垂直。

图5 分别取(a)0.8、(b)1.0、(c)1.5和(d)2.0时对应的磁场强度波形

4 结束语

针对目前谐振无线电能传输技术中电磁场特性的研究仍不够完善的问题，本文基于分数阶微积分理论，建立了分数阶谐振无线电能传输电路模型。基于该模型研究了电容阶数对自谐振频率与阻抗的影响；从电路角度出发，对模型中耦合线圈间存在的分数阶磁场特性进行了研究；从时间角度出发，分析了微分阶数对伴随电磁场强度的影响，为无线电能传输技术的发展及进一步的应用提供理论支持。