抽取对点频信号幅相影响分析

任泽宇，罗丁利，于迎春

(西安电子工程研究所 专业5部，陕西 西安 710100)

在雷达系统信号处理器设计过程中，常对数据进行抽取处理，以实现降低数据率、降低系统实现难度的目的[1]。工程应用中需利用幅相特征提取有用信息，然而仅根据工程经验进行抽取会对幅相的绝对值造成影响。相关文献对抽取的研究主要集中在谱线展宽、避免频谱严拓及保留原始信息成分方面[2-7]，对抽取导致的信号绝对幅相变化规律分析较少，不足以解释工程实现所遇问题，因此探究其变化规律是有必要、有意义的。

傅里叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT)可实现信号时/频域转换[8]。本文首先介绍DFT原理，并得出点频信号傅里叶变换后峰值处幅度、相位计算表达式，并分析不同频率信号幅相取值范围及频谱泄露情况；随后进行理论分析，获得p倍抽取后幅相的变化规律；最后通过仿真手段进行验证并对变化规律进行总结。

1 信号频域幅相分析

为了分析抽取后的绝对幅相变化规律，首先需要获得信号经傅里叶变换后频域幅度、相位的表达式。本文采用点频信号做分析，暂不考虑噪声影响。点频信号频谱表现为单根谱线，故分析最值处幅相即可。设角频率为w0的复信号表示为x(t)=A·ej·w0·t)，A为信号幅度，w0=2·π·f0，f0为信号频率。数字信号处理中需要对信号进行采样，设采样率为fs，离散信号表示为x(n)=A·ej·2πf0·n/fs)，n=0,1,2…为离散的采样点，归一化频率定义为f0/fs[9]。对该复正弦信号进行N点傅里叶变换的计算式[8]为

(1)

其中k=0,1,2…N-1，式(1)可视为一个等比序列求和的问题，则可表示为

(2)

对式(2)做进一步变换得

(3)

(4)

根据正余弦相关定理[10]，进一步推导得

(5)

工程实现中采样率、DFT点数N根据系统参数确定后将保持不变，针对不同的信号频率公式(4)中剩余不同，傅里叶变换后频谱峰值将在最大、最小值区间变化，最大值即对应为N点DFT的理论增益，对于公式(4)中k无法取整数情况下增益有所降低，即出现了一定的频谱泄漏[12]。

经理论分析及相应的推导，获得本文第一项结论：不同采样率、信号频率情况下，幅度最大增益比最小增益大π/2倍，此结论亦可表述为DFT存在频谱泄漏时，最大的频谱泄露功率为3.922 dB。对于信号存在初相θ情况，仅在X(k)表达式中增加一复数项ej·θ其模值为1，本结论不变。

2 抽取后幅相变化规律分析

(6)

根据上述分析，k′同样存在取得整数或小数情况，剩余不同则点频信号频谱峰值处幅相绝对值将发生改变。由于本文分析的是点频窄带信号，为防止发生频谱混叠，抽取前应该进行低通滤波处理[14]。工程实现中于下变频后也应进行低通滤波处理。

接下来，分析抽取后幅度的变化规律：由于p倍抽取后相位被约束于某一区间内，相位线性变化规律将体现为锯齿状。

根据规律(2)中分析未进行抽取时式(4)中k取为k1，p倍抽取后式(6)中k′取为k2。将公式(8)带入式(3)得抽取后幅度表达式为

(10)

其中n=p·m-k2′，-0.5≤n≤0.5，对于不同的信号频率、抽取率，剩余在(-0.5,+0.5)区间内变化，即幅度将按照相位变化周期规律起伏，幅度的取值被限制在(|X(k)|min,|X(k)|max) 区间。初相θ仅在式(3)中增加一复数项ej·θ，不影响幅度的变化规律及变化区间。

经理论分析及相应的推导，获得本文第二项结论：抽取后相位按线性规律变化，幅度与相位同周期变化；初相影响相位变化区间，初相不影响幅度变化区间；初相不影响幅度、相位的变化规律。

3 仿真验证

本文通过仿真手段印证理论分析结论的正确性，仿真参数的选取主要以分析处理方便为目的。对于其他信号频率、采样率及DFT点数本文所得结论不变。

仿真参数设计为：信号形式为点频信号，采样率固定取为8 192 MHz，DFT点数N=8 192，理想信号未加噪声。信号频率分别取为30 MHz、30.208 712 5 MHz、30.5 MHz、30.808 712 5 MHz、-30.208 712 5 MHz，抽取率按照1、2、3…100变化，初相取为0。为分析初相的影响取频率30.808 712 5 MHz，初相π/3做对比分析。

首先仿真分析采样率固定、DFT点数N=8 192固定，不同信号频率对应不同剩余n(-0.5≤n≤0.5)条件下，最值处幅相变化规律。

图1 不同剩余n下傅里叶变换最大值处幅相变化

从图1中可以看出：不同剩余下傅里叶变换的最大增益是不同的，具体数据印证了本文第一项结论：不同信号频率DFT最大频谱泄露为3.922 dB，即最大增益比最小增益大π/2倍。在工程实现中系统采样率固定、DFT点数固定的条件下，输入信号频率不同，DFT所得增益与理论值相比最大偏差不超过3.922 dB。接下来仿真验证第二项结论。由第2节的分析(2)可知，若式(4)可取得整数，则该频率点频信号抽取后幅度、相位均无变化。图2分析30 MHz信号验证了这一点，对不同的抽取率，k′均取得整数。仿真分析图中，每一抽取率对应的幅相值表现为独立的点，将其连线处理可以更直观的观测变化规律。

图2 30 MHz信号抽取引起的绝对幅相变化

图3 30.208 712 5 MHz信号抽取引起的绝对幅相变化

对于频率为30.808 712 5MHz的信号，式(7)中剩余m=-0.191 3，根据第二项结论相位随抽取率的变化曲线斜率为负，并按照锯齿状变化，如图4所示。对于频率为30.5MHz信号根据式(6)，对于不同的抽取率，剩余仅取为0或0.5，此时幅相值随抽取率变化仅在两个值间跳变，如图5所示。

图4 30.8087125MHz信号绝对幅相变化

图5 30.5 MHz信号绝对幅相变化

接下来分析初相对抽取后幅相的影响。图6为频率30.808 712 5 MHz，初相π/3信号抽取后绝对幅相变化图。与图4相比幅度变化规律相同，相位变化变化规律相同、斜率不变但区间改变，图6中绝对相位各点取值在图4基础上增加π/3。与第二项结论相一致：初相影响相位变化区间，初相不影响幅度变化区间；初相不影响幅度、相位的变化规律。通过图4和图6的对比亦可说明两路信号经过相同的处理，幅相的相对关系没有发生变化。图7仿真说明负频信号亦按所得规律变化，负频信号对应工程中负多普勒频率信号，出现在目标相对运动远离情况[15]。

图6 初相为π/3信号绝对幅相变化

图7 -30.208 712 5 MHz信号绝对幅相变化

通过图2～图7的分析，充分说明抽取率将导致信号幅相绝对值的改变，变化规律与式(9)和式(10)相吻合。逐条逐项对所得第一、第二结论进行仿真验证，仿真结果进一步说明了本文研究所获幅相变化规律的正确性。

4 结束语

本文通过理论分析及充分的仿真验证得出如下结论：(1)相位随抽取率线性规律变化，幅度与相位同周期变化；(2)初相仅影响相位变化区间，初相不影响幅度变化区间；(3)初相不影响幅度、相位的变化规律。与已有文献资料中对抽取的研究角度不同，本文着重对幅相绝对变化规律进行分析，所得结论与工程实际结果相吻合，为工程实现提供了理论支撑。本研究得出获得DFT处理最大频谱泄露为3.922 dB的结论，阐释了工程中对不同频率信号处理结果起伏的可能原因，为工程实现提供了设计依据和理论参考。