高中数学圆锥曲线部分教学研究

☉安徽省临泉第一中学 李晓燕

圆锥曲线部分是高中数学的重要组成部分，它在整个高中阶段的数学教学中有着重要的地位，它是连接代数和几何两部分知识的重要桥梁.另外，圆锥曲线部分的知识贴近生活，并且包含许多重要的数学思想，学生通过该部分的学习，能够有效提高自身的思维水平，提高自身的数学素养.从高考数学试题的角度来看，圆锥曲线部分的知识占据的分值较重，并且都是结合其他的知识点以综合题的形式出现，该部分的题目成为了高校甄别考生的重要题目.因此，研究圆锥曲线教学，不仅有助于提高课堂教学效果，提高学生的数学素养，还有助于学生在高考中取得一个良好的成绩.

一、圆锥曲线部分知识概述

圆锥曲线部分知识具有较强的综合性，它能够与高中数学中的多部分知识结合，进而考查学生对数学知识的综合应用能力.从教材上来看，圆锥曲线部分的知识主要包括圆、椭圆、双曲线、抛物线几个部分，它们能够和导数、三角函数、平面几何等知识相结合，与我们的日常生活和生产有着密切的联系.

二、高考试题中圆锥曲线部分考点分析

通过对近几年高考数学圆锥曲线部分考题的统计来看，该部分知识所出题目的类型主要集中在选择题和解答题上，填空题极少出现.在2015年的吉林省高考数学理科试题中，圆锥曲线部分的试题占了17分，其中第10题的选择题是关于双曲线的知识，第20题的解答题是关于椭圆的.同年的文科数学试题中，也是考查了双曲线和椭圆两个方面的知识，其中双曲线部分的知识依然是以选择题的形式出现，解答题依然是选取了椭圆部分的知识.在2016年的理科数学试卷中，圆锥曲线部分的知识依然是考查双曲线和椭圆两部分，双曲线部分知识依然是以选择题的形式来考查，解答题部分依然是选择椭圆部分.在文科试卷中，对圆锥曲线部分知识的考查出现了变动，考查了抛物线和椭圆两部分的内容，其中选择题部分考查的是抛物线的相关知识，解答题部分依然是考查椭圆部分的知识.在2017年的理科数学试卷中，圆锥曲线部分的知识点考查的是双曲线和椭圆部分的知识，题型的选择和知识点的分布与前几年一样.由此可见，高考数学关于圆锥曲线部分的考题相对稳定，其中椭圆部分的知识成为了历年高考数学解答题中的必考知识点.

在高考数学试题中，圆锥曲线部分的知识除了考查学生对书本知识的掌握情况以外，还考查学生数学思想的掌握.尤其是数形结合的思想和函数与方程思想，考查的频率最高，而数形结合思想是圆锥曲线部分考查的重点，函数与方程思想主要通过直线与圆锥曲线相结合的题目来考查.

三、学生对圆锥曲线问题的掌握情况

从直观水平上来看，通过高中阶段的数学学习，多数学生已经具备了对圆锥曲线直观认识的水平，当遇到点的轨迹满足圆锥曲线的几何特征时，就能够知道要利用圆锥曲线的相关知识来解答，但是有些时候容易忽略其中细节，导致出现问题.例如，动圆N和定圆C1：x2+y2+6x=0外切，同时还内切于定圆x2+y2-6x=40，请求出动圆的圆心N的运动轨迹.在这一题目中，主要考查了学生对椭圆定义和椭圆的直观认识，在解决这一问题的时候，学生可以通过数形结合和代数运算的方式来求圆心的运动轨迹，这种方法解题的前提是要求学生对椭圆的定义有深刻的认识.另一种方法就是通过题目中已知的等量关系，来求圆心的运动轨迹.相比较于第一种方法，这种方法计算量较大，但是也可以求出最终的结果.

从描述水平上来看，通过高中阶段的数学学习，仅有一部分学生能够达到圆锥曲线的描述水平，能够借助性质和公式进行简单的推理.例如，在2012年高考数学全国卷2中有这一问题：F1和F2是椭圆的两个焦点，P是直线x=上的一点，如果△F1PF2为底角是30°的等腰三角形，那么E的离心率是（ ）.

该题就是考查学生对椭圆的相关性质的理解和作图能力，在对学生进行测试的时候，多数学生能够对方程的位置把握准确.只有半数多一点的学生能够正确的对这一问题进行演算，由此可见，学生在对圆锥曲线的描述水平这一阶段，对于简单问题能够准确解答，但是对于稍微复杂的问题就会出现问题.

从理论水平上来看，学生在演绎推理和证明几何关系方面的能力参差不齐，通过对学生的测试可以发现，部分学生对题干中信息处理的能力有所欠缺，并且在图形和数字的转化上也不到位.例如，2014年高考数学全国卷2中的这一题目：F1和F2是椭圆

（2）如果直线MN在x轴上的截距是2，|MN|=5|F2N|，求a，b的值.

该题就是考查学生演绎推理、综合应用和计算等能力，在解第一问的时候有两种方法，可以通过椭圆的相关知识来求解，也可以借助直角三角形和椭圆的相关知识来求解.在第二问中，很多学生对题目中“在y轴截距”的信息理解不到位，并且对题目中的部分隐含条件也没有正确的利用起来.这就说明学生对题目信息和所学知识链接整合能力存在欠缺.

总体上来看，学生对圆锥曲线部分的掌握存在以下问题：首先，他们对于圆锥曲线部分的知识理解不到位，尤其是概念方面的知识，理解不够深刻，通过学生的解题我们就可以看出来，很多学生不能够借助相关的定义概念来完成解题，并且，有些时候他们还会混淆这些概念之间的关系，导致自身解题错误.其次，学生在符号、图形、文字等数字语言之间的转化不够灵活，对于高中圆锥曲线部分的知识，在解题中应用最多的就是数形结合的思想，学生需要将题目中的文字语言转化为图形语言，再将它们转化为数字符号语言，经过多重转化寻找问题的突破口.很多学生就是在这些语言之间的转化上存在欠缺，导致中间环节出现问题，最终导致解题失败.最后，学生对圆锥曲线部分综合解题能力有欠缺，很多学生在单独面对圆锥曲线部分的单个知识点的时候，能够准确的回答，一旦涉及到综合类的问题，就感觉无从下手，这些就是学生综合解题能力不足的表现.的两个焦点，M是C上的一点，其中MF2和x轴垂直，直线MF1与C相较于N.

四、高中数学圆锥曲线部分教学建议

（一）立足高考，放眼未来

圆锥曲线部分作为高考数学的重要考点，在教学中要给予足够的重视，要密切研究高考数学圆锥曲线部分的出题动向，及时的调整我们的教学方式.另外，还要关注学生的长远发展.圆锥曲线部分的知识在生活中被广泛应用，例如全球卫星定位导航系统、音乐台的抛物面墙等，在教学中通过引入这些实例，提高学生的学习兴趣.而且，通过圆锥曲线部分的学习，还有助于学生思维能力、运算能力和推理能力的提高，因此，教师在教学中不仅要注重基本知识和解题技能的传授，还要将培养学生的综合能力放到同样重要的位置上.

（二）选择适当的方式，注重基本概念的理解

基本概念是学生学习该部分知识的基础，教师要选择合适的方式帮助学生理解相关的概念，让学生能够在今后的解题中灵活运用.例如，在椭圆部分的教学中，有些教师按照教材中的方式，直接将椭圆的概念呈现给学生，还有些教师借助几何画板进行直观的展示.几何画板的应用虽然能够辅助学生认识椭圆，但是用几何画板来展示椭圆的性质就需要引入以前学过的垂直平分线的性质，如果学生对该部分知识掌握不灵活，势必会影响对椭圆概念的认识.另外，结合椭圆定义的特点，笔者认为根据人教版高中数学课本上的方式来引入更易让学生接受.因此，选择合适的方式，才能够提高学生对基本概念的理解，才是圆锥曲线概念教学的根本.

（三）注重学生综合能力的培养

圆锥曲线部分的知识不是单独出现的，它往往与其他的知识相结合共同出现，并且对学生的综合能力要求较高.首先，在该部分知识的教学中，教师要引导学生分析题干信息，提高学生数学语言的转化能力，使学生能够从题干中得到足够的数学信息.其次，提高学生运用综合知识的能力，尤其是椭圆、双曲线和抛物线部分的知识，注意让学生加以区分，尤其是其中a，b，c，d各参数的关系要明确.我们还可以借助一些题目的练习，来提高学生的综合能力.需要注意的是，在题目选择的过程中，尽量选择与生活实践相关的问题，这样还有助于培养学生利用数学知识解决生活问题的能力.