浅析可逆矩阵的相关结论及应用

孙传光 侯林林

摘 要：可逆矩阵是线性代数中的重要内容，是历来研究生入学考试中重点考察的内容之一。本文对于与可逆矩阵的相关结论，包含与行列式、矩阵的秩、向量组、线性方程组、特征值的关系进行分析与总结，并通过例题来探讨它们的应用。

关键词：可逆矩阵；行列式；矩阵的秩；线性方程组；特征值

一、可逆矩阵的定义

设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，满足AB=BA=E，则称矩阵A是可逆的，B为A的逆矩阵，记为A-1=B，这里E表示单位矩阵。（关于可逆矩阵，给出如下说明：可逆矩阵又可称为非退化矩阵，非奇异矩阵，满秩矩阵；可逆的定义是相对的，即若B为A的逆，则A也为B的逆；可逆矩阵的记法为A-1，而不能写成1A。本文中所提矩阵A如果没有特别说明，都是指n阶方阵A。）

二、与可逆矩阵相关的结论

这一部分分别给出矩陣可逆与行列式、矩阵的秩、向量组、线性方程组、特征值的关系。

1.与行列式的关系

方阵A可逆的充分必要条件是|A|。（当A可逆时，可利用此结论得到A的逆：A-1=A*|A|，其中A*是A的伴随矩阵。由此可进一步得到AA*=|A|E）

2.与矩阵的秩的关系

（1）方阵A可逆的充分必要条件是方阵A的秩r（A）=n，其中r（A）表示矩阵A的秩。

（2）设A是m×n矩阵，P是m×m可逆矩阵，Q是n×n可逆矩阵，则有r（A）=r（PA）=r（AQ）=r（PAQ）

3.与向量组的关系

A可逆的充分必要条件是A的列向量组线性无关，A的行向量组线性无关。（此结论的逆否命题为：A不可逆的充分必要条件是A的列向量组线性相关，A的行向量组线性相关。）

4.与方程组解的关系

线性方程组Ax=b对任意的b都有解的充分必要条件是方阵A可逆。

充分性证明：因为A可逆，从而对任意的b，方程组Ax=b的解为x=A-1b。必要性证明：由题意，方程组Ax=b对任意的b都有解，取ε1=（1，0，…，0）T，ε2=（0，1，…，0）T，…，εn=（0，…，0，1）T，则对方程组Ax=ε1，i=1，2，…n，有解x1，满足Ax1=ε1，i=1，2，…n，从而有A（x1，x2，…，xn）=（ε1，ε2，…，εn）=E。令X=（x1，x2，…，xn），即AX=E。两边同时取行列式，得到|A||X|=1，从而|A|≠0，说明A可逆。（对于齐次线性方程组Ax=0，上述定理的逆否命题可以叙述为：齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是方阵A不可逆。）

5.与矩阵方程的关系

（1）对于矩阵方程AB=C，若A可逆，则有B=A-1C。

（2）若A可逆，且AB=0，则B=0。

6.与特征值的关系

（1）A可逆的充分必要条件是A的特征值均为非零的。

（2）设A的特征值分别为λ1，λ2，…，λn，则当A可逆时，A-1的特征值分别为λ1-1，λ2-1，…，λn-1。

三、可逆矩阵的应用

针对以上结论，这一部分，我们通过一些习题来看可逆矩阵的应用。

1.设A是n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，则（ ）。

（A）|A*|=|A|n-1 （B）|A*|=|A|

（C）|A*|=|A|n（D）|A*|=|A-1|

解析：此题考查矩阵A可逆与行列式不等于零的关系。对AA*=|A|E两端同时取行列式可得|A||A*|=|A|n，再由A可逆可得|A|≠0，从而|A*|=|A|n-1，选（A）。

2.设A是n阶可逆矩阵，是A的一个特征值，则A的伴随矩阵的特征值之一是（ ）。

（A）λ-1|A|n（B）λ-1|A|

（C）λ|A|（D）λ|A|n

解析：此题考查矩阵可逆与特征值的关系，以及特征值的性质。首先，由A可逆可得A的特征值均为非零的。进一步，根据特征值与特征向量的关系有Ax=λxA*（Ax）=A*（λx）|A|x=λ（A*x）A*x=|A|λx，从而选（B）。

参考文献：

[1]同济大学数学系.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]甘志雄，等.线性代数典型例题与解法[M].长沙：国防科技大学出版社，2004.

[3]上海交通大学数学系.线性代数习题与精解[M].上海：上海交通大学出版社，2005.

作者简介：孙传光（1980— ），男，山东曲阜人，硕士，山东水利职业学院讲师；侯林林（1982— ），女，山东泰安人，博士，曲阜师范大学信息科学与工程学院副教授。