机床主轴用角接触球轴承零件体积和质量的精确计算

刘胜超，王东峰，杨浩亮，尹延经，张振强

(1.洛阳轴承研究所有限公司，河南 洛阳 471039；2.河南省高性能轴承技术重点实验室，河南 洛阳 471039；3.滚动轴承产业技术创新战略联盟，河南 洛阳 471039)

为便于合套，角接触球轴承通常在内、外套圈中一个套圈上设置锁口，另一套圈根据使用场合不同有带斜坡和不带斜坡2种结构。为了确定轴承零部件材料的成本需先计算出各零件的质量。除此之外，对轴承重量有严格要求的场合也需先精确计算出各零件的质量，计算质量的前提是计算出各零件体积。

文献[1]给出了深沟球轴承零件质量计算方法，对角接触球轴承不适用。文献[2]给出了角接触球轴承零件质量的估算式，但其没有考虑套圈上斜坡角度改变时的计算，并不具备通用性。目前SOLIDWORKS等三维建模软件已普及，利用其自带的测量功能，可在建模后得到零件的体积和质量，但建模的前提是零件所有内部参数都已知，只适于已有型号轴承的计算。故有必要探讨合适的计算方法来计算机床主轴用角接触球轴承的体积和质量。

1 轴承零件体积

对于内、外圈，首先，不考虑倒角切下体积，根据套圈结构特点将套圈划分为若干区域，计算各区域体积，然后计算套圈各个倒角切下的体积，二者相减即可得到轴承套圈体积。对于保持架，首先计算内、外圆柱面包络的体积，然后计算兜孔切下的体积和倒角切下的体积，内、外圆柱面包络体积减去兜孔切下体积和倒角切下体积即可得到保持架体积。

1.1 外圈体积

外圈结构如图1所示，将外圈分为挡边区域Ⅰ、沟道区域Ⅱ和斜坡区域Ⅲ3个区域，如图2所示。外圈体积为

图1 外圈结构示意图

图2 外圈区域划分图

Ve=VeΙ+VeⅡ+VeⅢ-(Vecr+Vecr1+Vecr3+Vecr8),

(1)

式中：VeΙ，VeⅡ，VeⅢ分别为外圈挡边区域、沟道区域、斜坡区域的体积;Vecr，Vecr1分别为外圈装配大、小倒角切下区域的体积；Vecr3为外圈挡边倒角切下区域的体积；Vecr8为外圈斜坡倒角切下区域的体积。

1.1.1 挡边区域

挡边区域如图3所示，其为由外圈外圆柱面和外圈挡边包络成的绕轴承轴线旋转而成的回转体，则其体积为

图3 外圈挡边区域

(2)

Le1=C-ae-ae0,

式中:Le1为外圈挡边区域圆柱高度；D为轴承外径；D2为外圈挡边直径；C为外圈宽度；ae为外沟位置；ae0为外圈沟道与挡边交点距外圈沟曲率中心的水平距离；Re为外沟曲率半径；De为外圈沟道直径。

1.1.2 沟道区域

图4 外圈沟道区域

(3)

式中：ae1为外圈沟道与斜坡交点距外圈沟曲率中心的水平距离；te为外圈斜坡高度。

1.1.3 斜坡区域

图5 外圈斜坡区域

(4)

Le2=C-ae-ae1，

式中：Le2为外圈斜坡区域宽度；αte为外圈斜坡角度。

1.1.4 装配倒角切下区域

装配大倒角切下区域如图6a所示，其体积为

(5)

式中：re为外圈装配大倒角。

装配小倒角切下区域如图6b所示，其体积为

图6 外圈装配倒角

(6)

式中：re1为外圈装配小倒角。

1.1.5 挡边倒角切下区域

图7 外圈挡边倒角

(7)

式中：re3为外圈挡边倒角。

1.1.6 斜坡倒角切下区域

图8 外圈斜坡倒角

[(x-ae8)tanαte+Het]2}dx，

(8)

ae8=re8sinαte,

Hre8=Het+re8cosαte，

式中：re8为外圈斜坡倒角。

1.2 内圈体积计算

内圈结构如图9所示，同外圈体积计算方法，将内圈也分为挡边区域Ⅰ、沟道区域Ⅱ和斜坡区域Ⅲ3个区域，如图10所示。内圈体积为

图9 内圈结构示意图

图10 内圈区域划分图

Vi=ViΙ+ViⅡ+ViⅢ-(Vicr+Vicr1+Vicr3+

Vicr8)，

(9)

式中：ViΙ，ViⅡ，ViⅢ分别为内圈挡边区域、沟道区域、斜坡区域的体积;Vicr，Vicr1分别为内圈装配大、小倒角切下区域的体积；Vicr3为内圈挡边倒角切下区域的体积；Vicr8为内圈斜坡倒角切下区域的体积。

内圈挡边区域的体积ViΙ为

(10)

Li1=B-ai-ai0，

式中：d2为内圈挡边直径；d为轴承内径；B为内圈宽度；Li1为内圈挡边区域圆柱的高度；ai为内沟位置；ai0为内圈沟道与内圈挡边交点距内圈沟曲率中心的水平距离。

内圈沟道区域的体积ViⅡ为

(11)

式中：di为内圈沟道直径；Ri为内沟曲率半径；ai1为内圈沟道与内圈斜坡交点距内圈沟曲率中心的水平距离；ti为内圈斜坡高度。

内圈斜坡区域体积ViⅢ为

(12)

Li2=B-ai-ai1，

式中：αti为内圈斜坡角度。

内圈装配大倒角切下区域的体积Vicr为

(13)

式中：ri为内圈装配大倒角半径。

内圈装配小倒角切下区域的体积Vicr1为

(14)

式中：ri1为内圈装配小倒角半径。

内圈挡边倒角切下区域的体积Vicr3为

(15)

式中：ri3为内圈挡边倒角半径。

内圈斜坡倒角切下区域的体积Vicr8为

(16)

ai8=ri8sinαti,

Hri8=Hit-ri8cosαti,

式中：ri8为内圈挡边倒角半径。

1.3 保持架体积

保持架结构如图11所示，其体积为

图11 保持架结构

Vcage=Vc1-ZVp-2(Vbcr+Vbcr1)，

(17)

式中：Vc1为保持架内、外圆柱面包络区域体积；Vp为保持架单个兜孔切下区域的体积；Vbcr为单个外倒角切下区域的体积；Vbcr1为单个内倒角切下区域的体积；Z为球数。

1.3.1 内、外圆柱面包络区域体积

内、外圆柱面包络区域为由内、外圆柱面包络区域绕轴承轴线旋转成的回转体，如图12所示，其体积为

图12 保持架内、外圆柱面包络区域

(18)

式中：Bc为保持架宽度；Dc为保持架外径；Dc1为保持架内径。

1.3.2 兜孔切下区域体积

单个兜孔切下区域如图13所示，通过三重积分得到其体积为

图13 单个兜孔切下区域

(19)

式中：Δc为兜孔直径。

1.3.3 倒角切下体积

单个外倒角切下区域为由保持架外圆柱面和倒角直线包络区域绕轴承轴线旋转成的回转体，如图14所示。其体积为

图14 保持架单个外倒角

(20)

式中：rb为保持架倒角。

单个内倒角切下区域为由倒角直线和保持架内圆柱面包络区域绕轴承轴线旋转成的回转体，如图15所示。其体积为

图15 保持架单个内倒角

(21)

2 轴承零件质量

外圈密度为ρe,内圈密度为ρi,保持架密度为ρcage,球密度为ρball,则外圈质量为

me=ρeVe，

(22)

内圈质量为

mi=ρiVi，

(23)

保持架质量为

mcage=ρcageVcage，

(24)

球质量为

(25)

式中：Vball为球体积；Dw为球径。

轴承总质量为

m=me+mi+mcage+mball。

(26)

3 实例分析与验证

f(b)]。

(27)

n越大，区间越多，区间宽度越小，计算的精准度越高。由于数值积分方法求解中计算量较大，一般采用计算机编程的方法进行计算。采用VB进行编程计算，程序运行界面如图16所示。

图16 运行程序

以H7021C角接触球轴承为例，其主要设计参数见表1，利用文中方法进行计算。同时，在SOLIDWORKS中建立零件的三维模型，SOLIDWORKS中自带了零部件的体积和质量属性，将文中计算结果与SOLIDWORKS中的结果进行对比，见表2。由表2可知，两者零件体积和质量误差在允许的范围之内，其中的误差来源是复化梯形求积分时函数的余项。

表1 主要设计参数

表2 理论计算结果和三维模型对比表

4 结束语

通过建立机床主轴用角接触球轴承各零件体积的数学计算方法对轴承体积进行计算，计算出体积后根据各零件的密度计算出各零件的质量。将所述方法计算的体积和质量与三维软件中的结果进行了对比，所述方法与三维模型十分吻合，可用于精确计算主轴轴承零件的体积和质量。在利用软件进行轴承设计时，可以将文中所述方法编制为所需的子程序，在完成轴承设计后便可直接得到轴承各零件的体积和质量。