微分方程在动态目标检测与跟踪中的应用研究

梁哲铭

微分议程在许多领域都有重要应用，文章以导弹追击动态目标为例，从最简单的二维导弹追击问题建立了常微分方程，可以得到导弹的轨迹方程，根据微分方程在Matlab中模拟可以得到导弹追击图，进而求得导弹击中目标的。

当今社会，许多实际问题的处理，或者决策的产生，都越来越离不开高等数学知识的运用。微分是高等数学的重要内容，微分方程建立的模型在许多领域中占有着十分重要的地位。现代各学科各领域都与微分方程建模有着密切联系，例如军事、经济金融、预测等方面。微分方程在军事领域中可用于追踪和检测问题，把这些问题进行定量分析。

某军一导弹基地发现正东方向1海里处海面上有一艘敌舰以速度向正北方向行驶。该基地立即发射导弹追击敌舰，导弹速度是5，自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌舰，求导弹运行的曲线方程，敌舰行驶多远时，导弹将其击中？

1模型建立

假设导弹基地在坐标原点建立直角坐标系，如图1所示，敌舰在x轴上的A处。假设导弹在t时刻的位置是M（x，y），敌舰的位置是N，如图1所示。

导弹的轨迹曲线为OP，因为导弹始终对准敌舰，直线MN是M点处的切线，即伺

2模型求解

假设t時刻敌舰和导弹的坐标是一样为（x（t），Y（t））

（1）假设导弹的速度为w=5v，可得方程

（2）因为自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌舰，所以导弹的速度平行于敌舰与导弹头位置的差向量，可得导弹运动轨迹的参数方程为：

根据公式（7）进行编程，在Matlab中运行所得图1，

从图2中可以看出导弹大概是在（1，0.21）坐标处击中敌舰，结果与上一节中结果一致。

3模型评价与不足

模型利用了均匀物体的质心就为该物体的形心这一的原理来建立模型并转化为二维平面问题，使问题简单明了，利用几何中，曲线的相切性质列出常微分方程，再求解方程。但是在实际的军事中，问题要复杂很多，并且是动态变化的，敌机不可能和地面一直保持相同的距离，敌机和导弹的长度的忽略会影响会使计算结果有偏差，并且需要考虑风力、重力等影响因素，敌机在发现被跟踪时肯定会加速，所以它的速度不可能是恒定不变的，这些问题在后期的研究中都是需要考虑的因素。