有形数学 无形素养

陈瑶

《课标（2011年版）》中指出：“几何直观主要指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”这段话将几何直观的两种主要表现做了精炼的概括，简明概括了几何直观的含义。可以说，这是目前理解几何直观最重要的依据。

借助几何直观培养数学思维

思维是数学能力之“核”，也是核心素养之“魂”。无论过去、现在、未来，数学课堂都应该基于思维“教”，围绕思维“学”。笔者就以“三角形的三边关系”这节课和大家来探讨和交流。

1.由表及里

教材中的例4提供了4组固定长度的纸条，目的是让学生在用纸条围三角形的过程中发现和归纳三角形三边的关系。教学时，我改变了操作材料。

给每位学生准备1根吸管，三角形有三条边，就把它剪成三段。无论怎样剪，三段吸管的长度关系无外乎三种情况：a+bc和a+b=c。研究三角形的三边关系应该从哪几种情况分别去研究呢？其实就是这三种情况。

虽然三角形的“边”与“形”之间的关联具有隐蔽性，但在剪、围、看的活动中，学生们初步感受到“边的长短”会直接影响“三角形”的形成，从而引发了对三边关系的猜测，由直观的表象引向深入的思维。

2.由浅入深

受材料和操作误差的影响，课堂往往会“卡”在“两段的长度之和等于第三段”时能否围成三角形这个问题上。借助课件把三段吸管抽象成三条线段，让a+b=c。这样的三条线段能围成三角形吗？

根据经验，必须将这两根较短的线段的一个端点重合，形成相应的角才行。借助动态演示，学生们发现a和b的两个端点无法重合，一下子就理解了a+b=c时三条线段是不能围成三角形的。那怎样的三条线段能围成三角形呢？继续借助直观图展开想象，只要将a或b延长那么一点点就行了。这为后面推理归纳出“任意两边之和大于第三边”积累了丰厚的直观经验。

借助几何直观让学生多了不断逼近数学本质的思索，多了理性精神的深度体验，让数学思维走向更远。

借助几何直观渗透数学思想

抽象、推理和模型是三种基本的数学思想。

1.抽象

抽象是把外部的数量与数量关系、图形与图形关系引到数学内部。“集合思想”的源头就是“抽象思想”。图形语言所特有的简洁性、直观性使学生的思维以一种更直观、更精确的形式展现出来。

2.推理

我们强调几何直观的重要性，因为数字与图形相比，图形更容易建立起直观。但在数学的证明过程中，图形只能用来帮助论证，而不能代替论证。在小学阶段归纳推理的应用非常多，但还有许多尚待发掘的演绎推理。归纳和演绎切不可绝对化，应尽量地让它们相辅相成。

3.模型

通俗说，数学模型是用数学的语言讲述现实世界的故事，它更侧重于描述现实世界中规律性的东西。《植树问题》研究的是非封闭或封闭路线上的点与段的关系，透过实际问题的种种变化，从数学的视角加以分类，点与段的关系无非是相等或加1、减1三种情况。

数学教学要用数学的眼光超越情境，提炼出数学模型，以适应广泛应用的需要。以下就是三种植树类型分别对应的关系模型、式模型和形模型。我们来看形模型，点和段在一一对应中直观地解释棵数与段数的关系。

抽象，从现实进入数学，形成数学研究的对象；推理，让归纳和演绎相辅相成，促进数学内部的发展；模型，使数学回归现实，构建起数学与外部世界的桥梁。借助几何直观让学生浸润于数学思想之中，从而凸显数学思想所承载的独特的、鲜明的学科育人价值。

借助几何直观提升数学素养

数学素养是通过数学学习建立起来的思想、方法，以及用数学的思想方法处理和解决问题的能力。

1.变生涩抽象为具体直观

在“抽屉原理”中，怎样帮助学生理解模型中词语表达的含义一直是教师们困惑的地方。可尝试用反证法从结论入手，结合操作、画图来帮助学生理解这些词语的数学意义，从而进一步地理解“抽屉原理”的本质。

先分别出示4种放法，逐一分析后发现都符合“总有一个笔筒里至少有2支笔”，再没有其他放法了，也就证明了“把4支铅笔放进3个笔筒，不管怎样放，总有一个笔筒里至少有2支笔”。先横向观察，发现关注的是每种放法中放得最多的那个笔筒。再纵向比较，发现寻找的是放的“最多”的笔筒中“最少”的铅笔数量。通过比较分析，经历在“最多”中找“至少”的過程，从而明白了“抽屉原理”描述的规律本质就是“至多”里面的“至少”。

2.变“拿来主义”为自主构造

教育的最高境界是实现自我教育，只有善学的人才会化难为易、化繁为简、化整为零。

六年级上册《数学广角——数与形》中的例2是一个无穷递缩等比数列的求和问题，对学生来说非常抽象。

结合分数的意义，学生用圆、线段、正方形等基本几何图形直观地描述出了算式的内容，但感到困惑的是从图中还是无法确定算式的结果。

虽然没有看出答案，但借助直观图已经看出了图形的变化趋势，隐隐约约地感觉该算式的结果应该与“1”有关。接下来借助图形展开想象，如果无限地加下去，空白部分就越来越小，和就越来越接近于1，当加数个数无限多时，颜色将整个图形涂满，和就是 1。

当面对无限的算式感到迷茫时，可以基于经验自主构图展开研究；当图形无法直接解决问题时，可以借助图形展开想象，从变化趋势中推想出无限的结果。

聚焦“几何直观”，面对图形时应该不只去问：“你看到了什么？”更重要的是“你思考了什么？联想到了什么？想象到了什么？发现了什么？依据是什么？”

数学有形，素养无形。核心素养期待遇见有智慧的教师，智者见智，智者才能育智。只有自身具备数学素养以及培养数学素养的意识，并能付诸教学实践之中，才能培养出拥有核心素养的人。

（作者单位：武汉市汉口辅仁小学）