非定常参数伯格斯模型本构方程的研究

王 博 达

(武汉大学土木建筑工程学院,湖北 武汉 430000)

蠕变广泛存在于各类岩石之中，在工程中，岩石的蠕变对于围岩的稳定性有着十分重要的影响，因此，对于岩石蠕变行为的研究显得十分重要。在目前大多数研究中，是以构建岩石的蠕变模型，通过对模型的研究模拟岩石的力学行为。其中，伯格斯体和西原体因能较好的模拟岩石的蠕变行为而得到广泛应用。

典型的岩石蠕变曲线分为三个阶段，减速蠕变阶段、等速蠕变阶段、加速蠕变阶段。传统的伯格斯模型能较好的模拟岩石的减速蠕变阶段与等速蠕变阶段，而无法反映加速蠕变阶段。因传统的伯格斯模型中的流变参数为定常数，因此笔者猜想将定常数改变为非定常数，是否可以达到模拟岩石的加速蠕变阶段的目的。由于粘性系数随着岩石的破坏而不断减小，直至减小为0时，岩石破坏。同时，为了简化问题，仅考虑伯格斯体中串联粘壶粘性系数随时间的变化，令η1(t)=η10e-αt。

伯格斯体力学模型可看作是马克斯威尔体与凯尔文体串联而成，力学模型见图1。

1 本构方程

建立伯格斯体本构方程的方法是将开尔文体的应力σK、应变εK与马克斯威尔体的应力σM、应变εM分别作为一个元件的应力、应变，然后按照岩石的串联规则，可以求出整个模型的本构方程。

对于凯尔文体，因为其流变参数仍为定常数，因此可以直接求得本构方程，即:

(1)

对于马克斯威尔体，因为其流变参数为非定常数，因此需重新建立起本构方程。

对于弹性元件：

σ1=E1×ε1

(2)

对于牛顿粘壶：

(3)

根据串联关系，σM=σ1=σ2，εM=ε1+ε2。将式(2)求导，可得:

(4)

将式(3)÷η1与式(4)÷E1相加，经过变形可以得到马克斯威尔体的本构方程，即：

(5)

其中,η1(t)=η10e-αt。

由于伯格斯力学模型可以看作是由马克斯威尔体与凯尔文体的串联，因此可以根据串联关系求得伯格斯模型的本构方程：

σ=σK=σM,ε=εK+εM。

将式(1)对t求导，可得：

(6)

将式(5)对t求导，可得：

(7)

将式(5)×E2，式(7)×η2，与式(6)相加，即可得非定常参数伯格斯体的本构方程，即：

(8)

2 蠕变方程

伯格斯模型的蠕变方程，即由马克斯威尔体的蠕变方程与凯尔文体的蠕变方程相加，即可得到：

(9)

其中，σ0为常数。

对于马克斯威尔体蠕变方程为：

(10)

将式(10)积分，可得到通解:

(11)

(12)

将式(9)与式(12)相加，即可得到非定常参数伯格斯体的蠕变方程：

(13)

将式(13)对时间t进行求导，可以得到蠕变曲线的斜率，即：

(14)

3 结语

1)通过将伯格斯体模型中的粘性参数看为非定常数，可以较好地模拟岩石蠕变的第三个阶段。2)本文借助数学的方法，运用了简单的数学推导，结合岩石力学的有关知识，对蠕变模型进行了研究，为以后的研究提供了一种新的思路，使之不仅局限于结合实际工程才能得出结论，可以通过数学的演算，预先推演出符合材料的几种公式，再利用实验数据，找到最契合的模型。