凸显过程，渗透优化

黄迪

摘 要：布鲁纳说过：“掌握基本的数学思想方法，能使数学更易于理解和记忆，领会基本数学思想方法是通向迁移大道的‘光明之路。”在小学数学教学中渗透数学思想方法，应坚持可接受性原则，根据小学生的接受能力把握好渗透的度，注意将抽象的数学思想方法与具体的教学内容紧密整合，凸显过程，渗透思想，在活动过程中使学生对数学思想方法获得初步认识或感悟，并随着认知的发展，让学生对这些思想方法的认识更清晰，理解逐步深刻。

关键词：数学活动；数学思想；优化

《义务教育数学课程标准（2011年版）》将基本数学思想作为“四基”之一，提出了要在小学数学教学中更加关注学生在数学学习过程中对数学思想方法的感悟。数学思想方法是数学的精髓，在数学中居于核心地位，具有深远的教育意义。学习数学不仅要学习它的知识内容，而且要学习它的精神和思想方法。“烙饼问题”是经典的优化问题，看似热闹的烙饼中究竟隐藏着怎样的数学思想，如何凸显过程，渗透优化思想？针对以上思考，我在本课教学中进行了以下尝试。

【案例回顾】

片段一：建立烙2张饼的最优模型，探究双数张饼的最优烙法

1.2张饼的最优烙法

学生以书为锅，利用圆纸片操作交流，展示。

师：刚才大家找到了6分钟和12分钟两种方法，像这样创造多种解决问题的方法，这个过程在数学上叫作“统筹”，统筹是为了选择最优方案，那对比两种烙法，你会选哪一种？为什么？

生：选6分钟更节省时间，因为题目说了“至少”。

师小结：哦，根据题目的具体需要“至少”来选择，同学们，选择最优方案就是“优化”，看来优化有方向。

师：刚谁听懂了6分钟的烙法？请你上来烙一烙。

学生（上台边演示边说）：同时把这两张饼放进去，烙3分钟，再翻过来烙反面。

师（课件演示）：大家看明白了吗？让我们一起回顾一下6分钟的烙法，请看！

师：6分钟比12分钟省时的秘密在哪里呢？

生：2张饼一起烙。

师：看来这个“一起”真重要，保证最多、不浪费。

那每次锅里放几张饼才能保证最省时间？

生：2张。

师小结：看来想要节省时间，就要充分利用锅的空间！

师（表格总结）：2张饼一起烙的这种方法叫作“2张同時烙”，也就是2张饼的最优方法，烙了2次，一共6分钟。

2.4张、6张饼的最优烙法

师：有了刚才烙2张饼的经验，那烙4张饼呢？

生：12分钟，2张2张地烙。（师PPT同步演示，并表格小结）

师：烙完了2张饼和4张饼，那烙6张饼呢？

生：也是2张2张地烙，2+2+2，要烙6次，18分钟。

3.总结双数张饼的规律

师：请同学们观察这张表，2张饼的最优方法是这样的，4张饼的最优方法是这样的，6张饼的最优方法又是这样的，你一定发现了什么规律，想想烙8张饼的最优方法是？

生：2+2+2+2。

师：次数和总时分别是多少？

生：8次，24分钟。

师：看来同学们已经找到规律了，烙像这样的双数张饼时怎样分比较合理？

生：2张2张地烙。

师：同学们真聪明，把烙双数饼问题转化成了烙2张饼的问题，也就是说如果要烙饼的张数是双数，可以2张2张地烙。

片段二：建立烙3张饼的最优模型，探究单数张饼的最优烙法

1.3张饼的最优烙法

师：烙3张饼最少需要几分钟？同学们先静静地独立思考，然后小组同学一起借助圆纸片摆一摆。

师：哪个同学愿意和大家分享一下你们小组的方法？

生1：要12分钟，先同时烙2张，6分钟。剩下一张单独烙，6分钟，共12分钟。

生2：我们只要9分钟，请看！先烙1号饼和2号饼的正面，再把烙一半的2号饼拿出来，把3号饼放进去，3号的正面和1号的反面一起烙，最后再烙3号的反面和2号的反面。

师：刚刚我们利用集体的力量又做了一次统筹！找到了12分钟和9分钟两种烙法。你会选哪一种？为什么？

生：9分钟，更节省时间！

师：看来优化有需要，这里需要是“至少”。谁听懂了9分钟的烙法？请你再说一说。

学生边讲教师边板书，数形结合。

师：同学们，你们会烙了吗？想不想再烙一次？

同桌边烙边说一说。

师：来，让我们一起借助课件回顾这种非常有创意的烙法。如图2。

师（表格总结）：我们把9分钟的这种方法叫作“3张交替烙”，也就是烙3张饼的最优方法，烙了3次，总时9分钟。

师：刚刚为什么我们要在中间把一张半熟的饼取出来？

生：不取出来，就会剩下第3张饼自己单独烙，锅不满，也就变成了12分钟的烙法。

师：那看来节省时间的关键在哪里？

生：锅里一直要有2张饼。

师小结：看来节省时间的关键是锅里始终要烙2张饼，不让锅有空余，原来优化的方法是充分利用资源！

2.5张和7张饼的最优烙法

师：思考一下，5张、7张怎么烙最省时？至少需要多长时间？下面小组合作探究，填写探究单。

学生汇报。

生1：5张饼先2张2张地烙，剩下1张单独烙，要18分钟。

生2：我觉得2张、3张地烙更省时，3张饼的烙法我们刚才学过，是9分钟，要15分钟。

师：哪种更好？

生：第二种，更省时。

师：那7张饼呢？

生：7张饼可以2张、2张、3张地烙。

3.总结单数张饼的规律

请同学们观察这张表，同学们发现了什么规律？

师：看！3张饼是交替烙，5张饼时分成2和3，7张饼分成2、2、3，那9张饼呢？怎么分？

生：2+2+2+3。

师：那你发现了烙单数张饼的最优方法是什么？

生：先2张2张地烙，最后剩下3张时，就用烙3张饼交替烙的最优方法来烙。

师：同学们把烙单数饼的问题转化成了烙2张饼和3张饼的问题，太厉害了！

片段三：拓展n张饼最优烙法的规律

师：观察PPT上表中张数、次数和时间，你有什么发现？讨论一下。

生1：2×3=6，3×3=9，4×3=12…

生2：饼数×3=总时。

师：那烙1张饼呢？

生：1张饼要6分钟，要除外。

师：也就是说总时=饼数×3（一张饼除外）。那为什么烙饼的次数和饼的张数一样？这是巧合还是有内在联系呢？

……

生：以3张饼为例，3张饼共有2×3=6（个）面，锅里每次能烙两个面，而一张饼正好两个面，就可以想象成一次正好烙了1张饼，所以烙几张饼正好就需要烙几次。

师：看来因为“每张饼2个面”和“每次锅里放着2张饼”的这个内在联系，使饼数和次数必然相同。

片段四：反思回顾研究过程

师：回顾刚才的研究过程，现在你知道优化是什么意思了吗？我们刚刚是怎样优化的？在优化之前要干什么？优化要注意什么？有方法吗？

生1：要注意要求是“至少”。

生2：有可能有不同的方法，要比较。

生2：烙的时候不能让锅里有空余，要充分利用锅的空间才行！

师小结：看来优化有前提，是统筹，找出不同方法；优化有方向，是需求，注意具体要求；优化有方法，是充分利用资源。不管生活中还是学习中，当同一件事有不同的安排方法时，我们需要对比分析，寻找最合理的安排，这就是“统筹学”，是由著名的数学家华罗庚提出来的。

【分析与思考】

由我执教的“烙饼问题”设计几经修改，最终呈现出了较好的效果，教学严谨扎实，学生学习兴趣盎然，原来“烙饼”中隐藏着这么大的学问。反思自己成功的关键在于，从体验操作到建立基本模型，再到发现规律，最后到回顾反思。学生经历了“感悟思想—提炼思想—明晰方法”这样一个由浅入深的过程，在知识形成过程中初步感悟“优化”，到解决问题中提炼“优化”，最后在反思中明晰“优化”。每个环节始终聚焦优化三大要素，一是优化有前提，让学生在经历中找到多种解决问题的方案，感悟“统筹”；二是优化有方向，让学生在比较中选择一种最优方案，感受“至少”；三是优化有方法，让学生在思考中发现要充分利用锅的空间，领悟“充分利用资源”。

一、凸显知识的形成过程，感悟数学思想方法

将数学思维的教学与具体数学知识内容的教学有机地结合，即以思维方法的分析带动具体知识内容的教学，才是更为重要的。[1]数学教学内容始终反映着数学知识和数学思想方法这两条主线，数学知识和数学思想方法始终紧密联系，数学知识的发生、发展过程，也是数学思想方法发生和凸显的过程。凸显知识形成过程，让学生感悟数学思想方法，关键是应让学生对数学知识的获取过程有所经历和感悟，并在这一过程中抓住渗透数学思想方法的机会。[2]在“烙饼问题”中，有意识地在学生操作体验中渗透优化思想，每个环节让学生在经历中创造，呈现多种结果，体验优化源于统筹；在比较中选择，体会需要指引优化；在突破中建构，领悟资源在于利用。烙2张饼学生初步完整感受优化思想过程：经历统筹（操作探究）、寻找需要（注意问题关键词“至少”）、对比优化（选择最优方案）、总结方法（充分利用锅的空间）；烙3张饼时学生在合作中轻松探究出3张饼的最优操作模型，过程中再次完整体验整个优化的过程，从而初步感悟什么是优化及其具体的三要素，尤其注重节省时间的关键是“锅里始终烙2张饼”，從而再次凸显优化有方法，要充分利用资源（即锅的空间）。

二、探究问题的解决过程，提炼数学思想方法

解决问题的过程既是对数学知识和数学思想方法应用的过程，也是学生进一步巩固数学知识、培养解决问题能力、提炼数学思想方法的过程。解决问题的过程，一方面，数学思想方法起着统摄、定向的作用；另一方面，通过对解决问题过程中所运用到的方法策略进行反思、总结和提炼，可以加深学生对数学知识的理解，让学生经历解决问题的具体方法策略向数学思想方法层面转化的过程。建立2张饼最优烙法的模型后，教师引导学生发现4张饼、6张饼的最优烙法，从而探究烙双数张饼的规律；建立烙3张饼的最优模型后，学生自主探究5张、7张饼的最优模型，从而发现单数张饼的规律，最后合二为一探究出烙n张饼的规律。这个过程中，烙2张、3张饼的最优模型对后面的探究始终起着指引作用，学生借助这一旧经验寻找解决问题思考的起点和方向，所以当烙5张饼出现不同方法时，学生在比较中很快发现要满足优化的“需求”，即找到最省时的方法。最后发现无论烙多少张饼，都可以将当前新的、复杂的问题向能利用已有知识经验解决的旧问题及简单问题转化，突出优化思想对探究新问题的指导作用，学生也在展示提炼中再次体悟优化思想的美妙。

三、关注反思的认识过程，明晰数学思想方法

反思是一种高级的认知活动，即是对自己的思想认识和心理感受的思考，也是对自己曾经经历、体验过的事件的再次认识和深度理解。学生反思数学学习过程，就是对经历的数学学习内容、学习方法、认知策略等多因素进行再次认识和深度理解，一方面可以加深学生对所学知识的理解，另一方面也可以使隐含在数学知识中的数学思想方法更加明晰化，提高这些数学思想方法在学生认知结构中的清晰度。在“烙饼问题”中，除了边经历边渗透，还注意经历之后及时反思小结，为了促使学生对优化思想有一个更全面的整体思考，最后在全课学完也引领学生回顾反思研究过程，围绕关键词“优化”进行反思式的追问，一是让学生对烙饼中的学问获得清晰认识的同时，进一步理解优化的含义，感受优化的前提是统筹，优化的方向是需要，优化的方法是充分利用资源，促进学生更加明晰优化思想方法；二是让学生认识到通过烙饼可以对优化思想获得更清晰的认识，体验到数学思想方法的作用和价值。

参考文献：

[1]郑毓信.数学思想.数学活动与小学数学[J].课程·教材·教法，2008（5）：37.

[2]陈祥彬.在小学数学教学中渗透数学思想方法[J].课程·教材·教法，2010（7）：39.

编辑 张珍珍