函数最值问题的解法探究

摘要：本文除了介绍常见到的如何求解高考常见类型的最值问题求法的类型，还将归纳如何遇到某一类问题，而巧用数学模型，将问题转化到某一模型上去，因此而收到出奇制胜的效果。

关键词：转化；二次函数；三角函數；数列；立体几何；恒成立；最值问题

函数最值是函数概念的一个重要组成部分，在研究函数图象、性质及实际问题中起着至关重要的作用。函数最值问题的求法有很多，如配方法、换元法、单调性、图象法、判别式法等等。高考中常常渗透到三角、立体几何、解析几何、实际应用问题中去，但广大师生遇到一些具体实例的时候仍会感到非常困难，本文除了介绍常见到的如何求解高考常见类型的最值问题求法的类型，还将归纳如何遇到某一类问题，而巧用数学模型，将问题转化到某一模型上去，因此而收到出奇制胜的效果。

类型一：三角函数、立体几何中的最值问题

【例1】△ABC的三个内角为A、B、C，求cosA+2cosB+C2取得最大值时A的值，并求出这个最大值。

该例先将三个角化归为同一个角，再求该角的三角函数最值

cosA+2cosB+C2=cosA+2cosπ-A2=cosA+2sinA2=1-2sin2A2+2sinA2

记t=sinA2（0

即转化为二次函数模型的最值问题，体现转化与化归思想。

【例2】如图，在平行四边形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD。记CD=x，用V（x）表示四棱锥F-ABCD的体积。

（1）求V（x）的表达式；

（2）求V（x）的最大值。

该例由面面垂直的性质定理，得线面垂直，进而得到四棱锥F-ABCD的高FA，因而易算出V（x）=13SABCD·FA=23x4-x2 （0

以上两个例子，列出函数关系后，将问题转化为某一类型，此题转化为二次函数类型，当然亦可以求导数类型。三角函数、立体几何中涉及最值问题高考中已屡见不鲜，列出函数关系，具体根据函数形式，常见的转化为求二次函数最值问题类型、基本不等式法求解类型、求导数方法等。

类型二：数列中的最值问题

数列作为特殊的函数列，遇到此类求最值问题，一定不要忘记数列其定义的范围是正整数。例如：

【例3】已知数列{an}满足a1=33，an+1-an=2n，求ann的最小值。

函数知识是研究数列问题的一种有效手段。利用叠加法求数列an，进而再求目标函数f（n）的表达式。因为an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=33+n2-n（n≥2），n=1时亦合，所以ann=33n+n-1。用函数知识进行探究，函数列是特殊的函数，是自变量取整数的函数。设f（x）=33x+x-1，x∈（0，+∞），f′（x）=-33x2+1，可得函数f（x）在（33，+∞）上单调递增，在（0，33）上是递减，因为n∈N*，所以f（n）最小值为f（5），f（6）中的较小者，又因为a55=535，a66=636=212，所以ann的最小值为a66=212。可结合函数单调性的特征，亦可用基本不等式法（对勾函数的图象）找最小者。只是再次强调是特殊的函数，特殊在定义域取整数，函数是一些孤立的点。

类型三：解析几何中的最值问题

高考解答题解析几何是压轴题，而且作为必考题型，考查学生逻辑思维的同时，还考查学生的运算能力，综合能力，如遇最值问题，理清思路，清醒地意识是属于什么类型的最值问题很重要。例如：

【例4】已知椭圆x225+y216=1长轴的左、右端点A、B，右焦点F，椭圆上的一点P位于x轴上方，且满足PA⊥PF，在椭圆长轴AB上取一点M，使得到直线AP的距离等于|MB|，求M到椭圆上一点的距离d的最小值。

此例解析：设P（a，b），由PA⊥PF，利用斜率乘积为-1，或勾股定理，列方程组，易解出P-59，1659，从而得直线AP的方程是2x-5y+10=0。设点M（m，0），则点M到直线AP的距离是|2m+10|3。则|2m+10|3=|5-m|，又-5≤m≤5，解得m=1。设椭圆上的点（x0，y0），则改点到点M的距离d有d2=（x0-1）2+y20=（x0-1）2+1-x2025×16=925x0-2592+1289，由于-5≤x0≤5，∴当x0=259时，d取得最小值为823。像这样设点转化为代数的运算是基本的方法，本题将问题最终转化为二次函数问题，利用求二次函数最值的方法求解，注意函数定义域。同时解析几何题型的计算量是比较大的，平时一定要重计算，加强计算能力！

类型四：构造模型解决最值问题

高考中常见类型的最值问题求法的类型很重要，但如果遇到某一类问题，而巧用数学模型，将问题转化到某一模型上去，也会而收到出奇制胜的效果哦！如：

【例5】若实数x，y满足（x-3）2+y2=4，求yx的最大值与最小值。

此例：构造斜率模型，yx其结构与斜率公式很像，由此可看成定点（0，0）与圆上（x-3）2+y2=4上动点P（x，y）连线的斜率，易知kOA=255，kOB=-255

∴yxmax=255，yxmin=-255

变式：若实数x，y满足（x-3）2+y2=4，求y+1x+1的最大值与最小值。

因为y+1x+1结构可看成定点（-1，-1）与圆上（x-3）2+y2=4上动点P（x，y）连线的斜率。归纳：对这一类cy+dax+b的函数最值问题，运用斜率模型求解不失为行之有效的一种办法。又例如：

【例6】若实数x，y满足（x-3）2+y2=4，求x2+y2的最大值与最小值。

因为x2+y2看成距离问题，可看成定点（0，0）与圆上（x-3）2+y2=4上动点P（x，y）的距离，易知 ∴（x2+y2）max=3+2=5，（x2+y2）min=3-2=1

变式：若实数x，y满足（x-3）2+y2=4，求（x+1）2+（y+1）2的最大值与最小值。

（x+1）2+（y+1）2又可看成定点（-1，-1）与圆上（x-3）2+y2=4上动点P（x，y）的距离。

再变式：求函数y=x2-8x+17+x2-4x+8 的最小值。

因为y=x2-8x+17+x2-4x+8=（x-4）2+（0-1）2+（x-2）2+（0-2）2可以看成 x轴上的动点P（x，0）到点A（4，1）、点B（2，2）两点的距离之和的最小值。如图，又点B（2，2）关于x轴的对称点B′（2，-2）到点A（4，1）的距离即为所求的最小距离，故ymin=（4-2）2+（1-（-2））2=13。

归纳：对于平方和的最值问题，运用两点距离公式（x2-x1）2+（y2-y1）2转化为几何问题求解。再例如：

【例7】若实数x，y满足（x-3）2+y2=4，求x+y的最大值与最小值。

此例：令z=x+y，化为：y=-x+z，z表示直线x+y-z=0在y轴的截距，由圆心（3，0）到直线的距离|3-z|2=2，z=-3±22，因此zmax=-3+22，zmin=-3-22

同理：若x+y改2x-y，令z=2x-y化为：y=2x-z，-z表示直线2x-y-z=0在y轴的截距。对于ax+by型的和差问题的最值问题，运用构造直线z=ax+by转化为y=-abx+zb的截距问题求解。

类型五：恒成立问题的最值策略

遇到恒成立问题时，常常转化为求函数的最值问题。如f（x）>m恒成立，即转化为f（x）min>m；如f（x）

【例8】已知m∈R，x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个实根，不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数a∈[-1，1]恒成立，求使m的取值范围。

此例：由题设x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个实根，得x1+x2=a且x1x2=-2，所以，|x1-x2|=（x1+x2）2-4x1x2=a2+8当a

SymbolNC@ [-1，1]时，a2+8的最大值为9，即|x1-x2|≤3，即|x1-x2|的最大值为3，由题意，不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数a

SymbolNC@ [-1，1]恒成立的m的解集等价于不等式|m2-5m-3|≥3的解集。由此不等式得m2-5m-3≤-3，或m2-5m-3≥3求解。如此遇到恒成立问题时，常常转化为求函数 f（x）的最值问题。

当然还会遇到实际应用题的最值问题，先理清思路，将实际问题转化为数学问题，含最值问题常常涉及二次函数、导数、基本不等式等，并时刻注意定义域，考虑定义域优先原则，除题目本身的限制外，实际的限制也需考虑，才不至于功亏一篑！

函數最值问题的渗透是高考常见类型，渗透在小题，解答题，应用类型中，掌握好了，在高考中才能运筹帷幄而决胜千里！

参考文献：

[1]互联网文档资源（https：∥wenku.baidu.com/）.

[2]主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙.2012数学高考最值解题策略[K].

作者简介：

周受萍，福建省福州市，闽侯县第一中学。