利用向量解决中学数学中的若干问题

尚瑶瑶　赵院娥

摘要：向量知识是普通中学教学中不可或缺的一项重要内容，向量的概念以及其中所引入的新的思想方法，在一定程度上扩充了中学数学教学内容的容量，同时由于向量是基于一种新的研究和思考方法，不仅拓宽了中学生的视野，而且使得数学知识进一步变得有趣生动起来，大大提高了中学生学习数学的积极性。

关键词：向量；数学教学；向量教学；知识整合

一、 中学数学向量知识概述

（一） 向量的基本概念

我们把既有大小又有方向的量统称为向量；长度（也称模）为零的向量统称为零向量，记0或0；长度为一的向量统称为单位向量；向量可用黑体小写字母a、b、c…或书写a，b，c…来表示，也可表示为向量AB、向量 BC、向量CD等；向量也称自由向量，即与起始点无关，仅由大小和方向决定。

（二） 向量的运算

向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常叫做向量的线性运算（或线性组合）。向量的运算包括平面向量的运算以及空间向量的运算。以向量的加法、减法以及数乘运算为主。

1. 向量运算的概念

向量的加（减）法：

如图，已知向量a，b，则有a+b=c，c-a=b。此方法称为向量的三角形法则。

同样的，如图，得a+b=c，c-a=b。此方法称为向量的平行四边形法则。

2. 向量运算的性质

加（减）法的性质：

a+b=b+a

（a+b）+c=a+（b+c）

a=λ1e1+λ2e2（其中e1，e2为不共线向量，且称为平面内一组基底）

数乘的运算性质：

λ（a+b）=λa+λb

（λ+μ）a=λa+μa

λa=aλ，其中两向量共线的充要条件是a=λb

|a|=a·a

二、 利用向量解决中学数学中的若干问题

向量的价值在于它的广泛应用性，向量集数和形一身，连接了几何、代数以及三角函数等方面的数学问题。向量以其直观性和可运算性为解决和沟通数学问题提供了极大的便利，如推理约简，方位确定及形状确定等。虽然向量里概念较多，但其实一大部分有其物理上的背景来源。物理学中有两种基本量：标量和矢量。物理中的矢量包括力、加速度、位移、动量、速度等，矢量与向量虽然相似，但并不完全相同，比如物理学中的矢量力，除过大小和方向外，还有作用点，而向量没有。但其之间微小的差异并不影响向量在物理学中的应用。不仅仅是物理学，下面我列举几种关于向量法在各类型题中的应用，从中可以更直观地看出向量知识的广泛应用性及其存在的重要性。

（一） 用向量的方法解决平面几何的相关问题

学习平面向量之后，那么很多我们在初中所学过的基本定理或定义都可以用向量的方法做简单的证明。

【例1】在三角形ABC中，M，N分别是AB、AC的中点。用向量法证明：线段MN是底边BC的一半。

证明：设△ABC两边 AB、AC 之中点分别为 M、N，那么

MN=AN-AM=12AC-12AB=12（AC-AB）

所以MN∥BC，且MN=12BC。

平面几何问题中的向量作用便是把形化成数的运算，通过平面直角坐标系，使得复杂问题变得清晰简洁，易于与其他知识融合，这里主要体现出向量的工具性及双重性。所以向量知识作为工具在平面几何问题上有着很好的运用。

（二） 用向量的方法解决立体几何的相关问题

向量在立体几何中的应用最为常见，结合空间向量的坐标运算，可以解决共线、线段共面、线线（线面、面面）平行、线线（线面、面面）垂直、长度（模）、距离 及两点间距离公式等诸多空间几何问题。

【例2】在长、宽、高分别为1、1、1.5的长方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面中心，求A1O与B1C的距离。

解：如图，建立空间直角坐标系D-ACD1，则 O12，12，0，A11，1，32，C（0，1，0）

所以A1O=-12，12，-32，B1C=-1，0，-32，A1B1=0，1，0。

設A1O与B1C的公共法向量为n=x，y，12，则n⊥A1On⊥B1Cx，y，12·-12，12，-32=0x，y，12·-4，0，-32=0-x+y-32=0-x-32=0x=-34y=34

所以n=-34，34，12，所以A1O与B1C的距离为

d=|A1B1·n||n|=32222。

当把平面向量推广到空间，与立体几何知识紧密联系起来，就能在很大程度上强化学生的空间思维模式，并且能在立体几何问题的解决中进一步掌握加强掌握向量知识，两者的柔和可谓是相辅相成。在这类型的应用上，可以解决很多长度，距离等空间问题，大大提高中学生解立体几何题的效率。

（三） 用向量的方法解决解析几何的相关问题

解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何，为了把代数运算运用到几何中来，最基础的方法就是把空间几何的构造有系统的数量化，代数化。所以我们首先在这里引入向量法以及向量的相关运算方法，而且可以通过向量来建立空间直角坐标系，使得很多解析几何问题更简便快捷的得到解决。

【例3】已知三角形三顶点为P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z3），P3（x3，y3，z3）。求△P1P2P3的重心（三角形三条中线的公共点）的坐标。

解：如图

设△P1P2P3的三条中线为P1M1，P2M2，P3M3。三中线的公共点为G（x，y，z）

因此有P1G=2GM1。即重心G将中线分为三等分。

因为M1为P2P3的中点，所以得M1的坐标为M1x2+x32，y2+y32，z2+z32

再由公式得

x=x1+x2+x33，y=y1+y2+y33，z=z1+z2+z33。

所以△P1P2P3的重心坐標为Gx1+x2+x33，y1+y2+y33，z1+z2+z33。

在这一问题上，利用向量的线性运算，就可以解决集合中的与共面、共线、定比分点等有关的仿射性质的几何问题。为了解决几何中常见的长度。交角等有关的度量问题，又要使用到向量的数量积，即内积。我们把几何问题转化为以向量的运算规律为基础的代数的演算，这样，代数的方法也就引入到几何中来了。

（四） 用向量的方法解决代数的相关问题

通常情况下，可以先把已知条件转化成向量的表达式，然后进行向量的相关运算，最后把运算得出的结果转化成求证的结论。

向量是代数研究很重要的对象之一。它具有大小和方向，可以进行加减运算，可以与实数结合进行数乘运算，也可以进行内积等运算。这些运算都是重要的几何性质，利用这些性质可以帮助我们计算角度、长度、面积等几何度量问题并且可以帮助我们刻画几何图形（直线、平面等），以及判断它们的位置关系。在以后的学习中我们还可以学到更多关于向量的其他运算。

【例4】已知函数f（x）=9+x2+（4-x）2+4，求函数的最小值。

解：构造向量p=（3，x），q=（4-x，2），则

p+q=（7-x，2+x）。

那么显然

f（x）=9+x2+（4-x）2+4=|p|+|q|≥|p+q|=（7-x）2+（2+x）2，

当且仅当向量p=（3，x），q=（7-x，2）共线且方向相同时等号成立，

则此时x=4。

在代数问题里，主要是构造向量求最值问题，以向量的不等式为基础性质，对原函数进行化简计算，即可得到最大值（或最小值）。其次，因为运算很多，所以一定要掌握向量的数量积，向量积的定义及数量积的性质，掌握其计算方法。

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作者简介：

尚瑶瑶，赵院娥（导师），陕西省延安市，延安大学。