从一道高考题谈高中生数学核心素养的缺失与培养

陈玉娟

(江苏省常州高级中学　213003)

数学核心素养是数学学习者在学习数学或数学某个领域所应达成的综合性能力[1].新修订的《普通高中数学课程标准(2017)》指出,数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现.主要包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个方面.

数学核心素养与数学课程的目标和内容直接相关,对于理解数学学科的本质,设计数学教学,以及开展数学评价等有着重要的意义和价值.下面笔者以2017年江苏省数学高考第19题为例,就高中学生数学核心素养的缺失和培养谈一点自己看法,请同行不吝赐教.

1　问题的发现与呈现

笔者与2017年高考学生的交流中发现,他们解答第19题(压轴题)困难较大,估计得分率很低,事实上后来与阅卷老师的交流中也证实了这一点,尤其是第2小题.

1.1　题目呈现

(2017江苏省数学高考第19题)对于给定的正整数k,若数列{an}满足an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”.

(1)略；(2)若数列{an}既是“P(2)数列”又是“P(3)数列”,证明：{an}为等差数列.

1.2　标准解答

解因为数列{an}既是“P(2)数列”又是“P(3)数列”,因此,

当n≥3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an①,

当n≥4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an②.

由①知an-3+an-2+an+an+1=4an-1③,an-1+an+an+2+an+3=4an+1④.

即an-3+an-2=4an-1-(an+an+1)⑤,

an+2+an+3=4an+1-(an-1+an)⑥.

将⑤⑥代入②,得an-1+an+1=2an,(n≥4),所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d′.

在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d′,

在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d′.综上,{an}为等差数列.

2　情况的调查与统计

笔者对考生进行广泛的调查和仔细的交流,了解他们解答此题的情况,统计、归纳出学生的困惑主要有以下四点.

困惑一：题设不知该如何“运用”.感觉“P(k)数列”的定义比较抽象,不理解.

困惑二：目标不知该如何“转化”.证明等差数列的常规方法是证明an-an-1=d(n≥2)或an+1-an=d．但从题干的等式中难以得出需要的等式.

困惑三：能理解“P(k)数列”的定义,得出①和②.但这两个等式中既有n又有k,项数较多,不知两式之间以及它们与目标之间有何联系？

困惑四：能从①得出③或④,但只是无意为之,不知有何作用,因此思路受阻.

3　问题的分析与解决

从以上学生们的困惑中不难发现,他们对解答此题的感受,总结起来就是一个字：难！新概念的定义抽象,难！等差数列模型的建立不落俗套,难！推理运算找不到方向,难！究其原因,其实是学生数学核心素养的缺失.数学核心素养不是指具体的知识和技能,也不是一般意义上的数学能力.核心素养基于数学知识技能,又高于具体的数学知识技能[1].为此,笔者认为教师应在帮助学生在解答困惑的基础上,体会数学的本真,提升数学核心素养.

3.1　深刻理解数学本质, 培养 “数学抽象”核心素养

解答困惑一

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性,得到数学研究对象的思维过程.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并且用数学符号或者数学术语予以表征.

“P(k)数列”的定义比较抽象,要从等式的下标变量n,k和繁多项数关系中抽象出本质关系,应注意两个关键词,一是“给定的正整数k”.对此,教师不妨引导学生把k看作“常数”,那么“P(2)数列、P(3)数列”的本质即k=2、k=3.用数学符号表征即是①②.第二个关键词是“对任意正整数n(n>k)总成立”.对此,教师可以引导学生提炼处理此类问题的一般规律和方法.即n可以取满足条件的、结论所需要的特定的数和式.如n-1,n+1,即③④.及解答后段的n=3,n=4.这是数列中常见的数学结构和体系,也是解决数列问题常规的数学方法和思想.

数学抽象是数学的基本思想,是形成理性思维的重要基础,反映了数学的本质特征,贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统.

3.2　有效建立数学模型, 培养 “数学建模”核心素养

数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,求解结论,验证结果并改进模型,最终解决实际问题.

等差数列这个数学模型有两大特点,一是从第二项起,每一项与前一项的差是同一个常数.用数学语言表达即为an-an-1=d(n≥2).二是从第二项起,每一项是前一项与后一项的等差中项.用数学语言表达即为an-1+an+1=2an(n≥2).所以求解模型应源于这两个特点.由于学生平时习惯用第一个特点解模,给解决本题带来了难点.为此,教师可以帮助学生从等式结构特点的视角,观察得出题设给予的是数列连续几项的递推关系,引导学生改进模型,从等差中项的角度由③④推理得到an-1+an+1=2an(n≥4).最后验证n=3,4,完善模型.

数学模型是数学应用的重要形式,数学建模是推动数学发展的动力.

3.3　恰当寻求数学联系, 培养 “逻辑推理”核心素养

解答困惑三

逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有演绎.

正如前文所述,①②对满足条件的正整数n都成立,因此n可取任意的数和式.如何从这两个一般的等量关系中推出解题所需要的特殊的等式呢？

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首先,正整数n是变量,可运动变化.其次,①②体现的都是数列{an}中的项之间的等量关系,相互间应该有千丝万缕的联系.那问题就归结为：n怎么变化才能把两式联系起来？

推理的关键是“抓同消异”！仔细观察, ①②的区别在于数列中项数的不同.①中含有5项,分别是第n-2,n-1,n+1,n+2,n项.②中含有7项,比①多出两项,分别是第n-3,n+3项.消异的办法就是选取适当的变量n.不难发现,在①分别取n为n-1,n+1.就出现了原本①中没有而②中有的项an-3,an+3,即③④.从而找到解决此题的突破口！采取运动变化和普遍联系的辩证观点来寻求数学之间的逻辑关系是解决本题的一个难点！

逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证,是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.

3.4　灵活借助运算方法, 培养 “数学运算”核心素养

解答困惑四

数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象,掌握运算法则,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等.

数学运算的方法通俗讲就是“有什么用什么”,“求什么找什么”.延续前文,有了③④,该如何用呢？那就要看求什么了.目标要证明的是an-1+an+1=2an, 这3项在③④中都有涉及.③还多余目标中没有的“an-3,an-2”, ④多余目标中没有的“an+2,an+3”.由此探究运算的方向,方法自然形成,那就是消元！留下目标中含有的,消去目标中没有的.运算程序浑然天成:先移项得⑤⑥,再将它们代入②，求得运算结果.

数学运算是数学活动的基本形式,是演绎推理的一种形式,是得到数学结果的重要手段.

3.5　实践体悟数学本质与思想, 综合提升数学核心素养

为了有效培养学生数学核心素养,应当关注学生的学习过程,引导学生在积极参与知识的“再创造”过程中理解数学.应当重视实践应用,引导学生在“做数学、用数学”中感悟数学.应当重视数学思想方法的教学与应用,精心设计数学思想方法的教学.坚持循序渐进的原则.为此,笔者认为应配置针对性的变式训练,综合提升学生的数学核心素养.

解决问题的策略大致归为以下三个步骤.

第一步：运用分类讨论思想,由一般到特殊,提升“逻辑推理”核心素养.

第二步：运用转化划归思想,合理设计运算程序,提升“数学运算”核心素养.

因为an>0,①②两式相除得

③④两式相除得

第三步：运用函数思想,灵活构造数列模型,提升“数学建模”核心素养.

方法1：因为an>0,

则⑤式可化为：cn=cn+2(n≥2).

所以当n≥2时,数列{cn}所有奇数项相等、所有偶数项相等.

⑥⑦相除,化简可得

4　结束语

数学核心素养是数学教育改革的目标,是提高数学教育质量的关键.它反映数学本质与数学思想,是在数学过程中形成的,具有综合性、阶段性和持久性的特点[1].数学核心素养是数学基础知识、基本技能、数学思考和数学态度等的综合体现.学生的数学核心素养表现为不同层级水平、不同阶段.数学核心素养的培养不仅有助于学生对数学知识的理解与把握,还对学生的可持续发展起着至关重要的作用.