均值不等式问题特征对高三学生问题解法的迁移影响

张令伟 　连四清　郭艳蕊

(1.首都师范大学数学科学学院 100048；2.河北水利电力学院 061001)

1　问题提出

样例在学生学习过程中的迁移作用，已有较多的研究．Gentner提出类比结构映射理论认为，学习样例为学习者解决新问题提供了一个类比源，类比主要是对两种情境所蕴含的结构和等级关系进行映射，只映射共同的内在关系而不包括具体事物的属性[1]．Ross在样例对迁移影响的研究中，把样例信息分为表面内容信息与内在原理信息两方面，表面内容是指问题所涉及的事物、形式、情节等具体内容，样例的表面内容对新手解决问题有重要作用；内在原理是问题所包含的内在结构或关系，是解决问题的关键[2]．

样例的表面内容对于新手解决问题的影响，已有大量的研究．Gick，Reed以及Holyoak和Koh等人的研究指出，样例的表面内容只对提取有影响，尤其是对自发提取，一旦提取成功或找到合适的类比源，下一步的应用或者映射过程将不受表面内容的影响，而只是对问题的结构信息敏感[3-5]．Ross在一系列构思巧妙的实验中，将表面内容进一步分离为表面概貌和对象对应两个方面[6-7]；而莫雷，唐雪蜂在Ross的研究基础上把表面概貌又进一步分离为事件属性和事件类型[8-9]．前者以大学生为被试，概率原理问题为材料，系列地研究了样例的表面内容对迁移的影响，研究指出：样例的表面内容不仅在类比源的选取上起作用，而且也对匹配过程有影响；问题表面概貌的相似可以影响原理的通达，但对于原理的运用没有影响；而对象对应主要影响原理的运用；在他的研究中表面概貌的变化，只限于事件属性方面的变化[6-7]．后者以高一学生和大学一年级学生为被试，排列与组合应用题为材料，研究了样例与问题在事件类型方面发生变化时，其表面概貌相似性对原理运用的影响．研究结果显示：表面概貌在事件类型方面发生变化时，其表面概貌相似性对原理运用表现出明显的影响[8-9]．莫雷，刘丽虹[10]也以高一中等生初学者为被试，三个概率原理为学习材料进一步探讨了原理相同与否的情况下，样例与新问题的表面内容的相似性对类比迁移的影响．

张令伟，连四清[11] [12]以高一初学学生和高二的熟悉学生为被试，以均值不等式为学习材料，探讨了均值不等式的问题特征对其解题方法迁移的影响.实验结果表明对于高一初学者来说，样例和测题表面特征的不同相似关系对问题解决迁移成绩有不同的影响．代数式类型表面特征的具体情节发生较大变化时，对问题解决方法的通达、提取和运用的迁移没有影响；常数类型问题表面特征的具体情节发生较大变化时，不仅对问题解决方法的通达有影响，而且对方法的提取和运用也有影响，当被试学生类型不同时，影响也不同；对于高二熟悉学生来说，样例与测试题的代数式类型表面特征相似性对解题方法的通达、提取和运用都没有影响；常数类型表面特征对解题方法的通达有影响，且对提取和运用过程也有影响，且常数类型特征对不同类型的学生影响也不同.

从已有研究可以看到，多数样例问题特征对问题解题迁移的研究涉及的数学学科知识较为广泛，比如概率应用题，排列组合应用题，运动和工程问题以及均值不等式问题特征对解题迁移的影响的研究，但是被试大多是没有学习过测试材料的学生，以及已经学习过学习材料的熟悉的学生作为被试时，而对“专家”学生作为被试样例的问题特征对问题解决的迁移影响涉及较少．为此，研究者拟通过实验，探讨高三“专家”学生为被试时，均值不等式问题特征的不同相似关系对解题迁移的影响，从而为教师在面对“专家”学生进行教学时，选择教学内容和教学方法方面提供实验依据．

2　研究方法

2.1　实验设计

本实验采用2(代数式类型：整式与分式)×2(常数类型：常数等于1与常数不等于1)×3(学生类型：优生、中等生、差生)三因素混合设计，其中代数式类型、常数类型为被试内变量，学生类型为被试间变量．研究变量为迁移成绩．

2.2　被试

选择邢台市某中学的高中三年级两个班的学生作为被试，被试均为重点班学生，共117名.根据各班的月考成绩将每个班的学生分为学优生、学中生、学差生三个类型.分类的依据是：把各班的月考平均分加减标准差得到区间分界分数，分数高于平均分加标准差的为学优生，分数在平均分减标准差与平均分加标准差之间的为学中生，分数低于平均分减标准差的为学差生.在实验过程中有学生没有按要求进行实验，如测试卷上不写姓名，或迁移成绩与月考成绩出入很大，这些学生被试的数据在统计分析时被剔除.最后有108名学生被试的数据有效，男生60名，女生48名.

2.3　实验材料

实验材料包括学习材料和测试材料．学习材料由一个均值不等式公式和一道学习样例题组成．学习样例包括样例问题的分析和样例的详细解答过程．测试材料由12道测试题组成，按已知条件代数式类型是整式与分式，常数类型等于1与不等于1分为四类题目，每类题目3道测试题．在测试材料试卷上给出所学原理的公式．为了消除题目的顺序影响，本实验测试材料采用拉丁方设计，共得到12套测试问卷．

2.4　实验程序

让被试学习十分钟学习材料．发放测试材料，测试材料用35分钟.统一收回测试卷.

2.5　数据的观测方法

评分标准是满分10分，答案完全不正确即不能迁移记0分；能使用“1”的代换的记5分；能正确去括号变形的记7分；能正确使用均值不等式公式记8分；能正确得出最小值记9分；能正确写出取得最小值时a、b值的记10分．

3　实验结果

对高中三年级均值不等式问题解决类比迁移成绩进行2(代数式类型：整式与分式)×2(常数类型：常数等于1与常数不等于1)×3(学生类型：优生、中等生、差生)重复测量方差分析.其中代数式类型、常数类型为被试内变量，学生类型为被试间变量.三种学生类型条件下，问题特征是代数式类型和常数类型的均值不等式问题解决类比迁移成绩统计结果如下，表1是迁移成绩的平均分和标准差的描述性统计结果，表中a1表示代数式为整式， a2表示代数式为分式，b1表示常数等于1，b2表示常数不等于1；表2是重复测量方差分析结果.

表1　高中三年级均值不等式问题解决类比迁移成绩描述统计表

注：表1中的平均分是指每一类题的三道题总分的平均分.

从表1可以看出，与代数式类型比较，常数类型对均值不等式问题解决类比迁移成绩有一定的影响.对于学中生和学差生，代数式类型相同情况下，常数等于1平均分都高于常数不等于1的平均分，这说明常数类型对学中生和学差生的迁移成绩都有影响.而对于学优生，代数式不管是在整式还是分式情况下，常数等于1与常数不等于1的平均分基本相等.这说明代数类型和常数类型对学优生迁移成绩没有影响.

表2　高中三年级均值不等式问题解决类比迁移成绩方差分析表

表2结果表明： 代数式类型的主效应不显著(F= 0.002，P=0.965>0.05)，代数类型×学生类型交互效应不显著(F= 0.663，P=0.517>0.05)，这说明代数式类型对迁移成绩的影响不存在显著的学生类型差异.常数类型的主效应显著(F= 7.776，P=0.006<0.01)，这说明常数类型对迁移成绩有非常显著的影响.常数类型×学生类型交互效应显著(F= 3.523，P=0.033<0.05)，这说明常数类型对迁移成绩的影响存在显著的学生类型差异.代数式类型×常数类型交互效应不显著(F= 0，P=0.998>0.05).代数类型×常数类型×学生类型交互效应不显著(F= 0.071，P=0.932>0.05).这说明代数式类型×常数类型交互效应不存在学生类型差异.

进一步对常数类型因素在学生类型的三个水平上做简单效应检验结果：在学优生水平上F=0.256，P=0.618>0.05；在学中生水平上F=2.428，P=0.124>0.05；在学差生水平上F= 10.639，P=0.002<0.01.这说明对于学优生和学中生来说，常数类型因素对问题解决的类比迁移成绩都没有影响；而对于学差生来说，常数类型因素对问题解决的类比迁移成绩有非常显著影响.

常数类型与学生类型交互作用图如图3.

图3　常数类型*学生类型交互作用图

4　分析与讨论

本实验的目的是探讨高中三年级不同类型的学生(专家学生)作为被试时，样例与测题的问题代数式和常数特征相似性对问题解决的类比迁移成绩的影响.实验的基本设想是：代数式类型对问题解决的迁移成绩没有明显影响，常数类型特征对问题解决的迁移成绩有明显的影响，常数类型方面的特征不同相似关系对不同类型的学生的的影响不同.

实验结果表明：代数式类型的主效应不显著，也就是代数式类型对迁移成绩的影响不存在显著的差异.这说明，无论何种代数类型并不影响方法的通达、提取和应用.这一结果与我们的预期基本一致.根据实验结果，我们提出如下解释：可能是被试在学习样例之前，已经具有高度概括的解决样例问题的解题图式，在样例学习时，能较准确、及时地激活已有的样例问题的解题图式，进而能迅速准确地把样例和测题之间所蕴涵的关系和结构映射到新问题的解决中.

代数类型×学生类型交互效应不显著，这说明代数式类型对迁移成绩的影响不存在显著的学生类型差异，也就是对于经验丰富的熟悉者作为被试时，无论哪个类型的学生，在问题解决过程中，代数式的表面特征对问题解决方法的通达、选取和运用都没有影响.

正如我们假设的那样，对于经验丰富的被试来说，常数类型的主效应显著，也就是说常数类型对迁移成绩有非常显著的影响.这说明常数类型对解题方法的通达、提取和运用的过程有影响.其原因可能是：一方面可能是被试在学习样例之前已经具有高度概括的解决样例问题的解题图式，即已有“1”的代换的解题图式，在样例学习时，能迅速、及时激活样例问题的已有解题图式，能揭露出样例和测题表面特征隐蔽的相似性，顺利地把样例解题方法迁移到新问题的解决中；另一方面与实验二的原因类似，可能是被试在学习样例之前已经具有解决样例问题的解题图式，即已有“1”的代换的解题图式，在样例学习时，可能能及时激活样例问题的已有解题图式，或者不能及时激活，而是需要通过对样例和测题表面特征的表层类比，当样例和测题表面特征的具体情节变化较大时，需要被试揭露隐蔽条件看出表面特征的隐蔽的相似性，从而实现解题方法的迁移.

常数类型×学生类型交互效应显著，这说明常数类型对迁移成绩的影响存在显著的学生类型差异.进一步简单效应检验分析：在学优生和学中生水平上，常数类型主效应都不显著；在学差生水平上，常数类型主效应十分显著.这说明对于学优生和学中生来说，常数类型因素对问题解决的类比迁移成绩都没有影响；而对于学差生来说，常数类型因素对问题解决的类比迁移成绩有非常显著影响.这一结果与我们的预期基本一致.根据实验结果，我们提出如下解释：学优生和学中生在解决测题时，能较准确、及时地激活已有的样例的解题图式，而抑制与解决测题无关的、表面的样例的非本质的信息，使它们对解决测题不产生干扰，而样例的表面信息在解决新问题时只起到“启动”作用；而学差生在解决新问题时，能较准确、及时的激活已有的样例的解题图式，但他们在解决新问题时仍然受表面信息的影响，不能揭露新问题的表面特征的隐蔽条件，清晰地判断出问题结构特征，从而导致问题解决失败.

代数式类型×常数类型交互效应不显著，这说明代数式类型和常数类型两问题特征对问题解决方法迁移的影响没有相互依存关系.代数类型×常数类型×学生类型交互效应不显著，也就是说代数式类型×常数类型交互效应不存在学生类型差异.

5　实验结论

当被试是专家学生时，代数式类型表面特征对解题方法的通达、提取和运用都没有影响；常数类型表面特征对解题方法的通达有影响，且对提取和运用过程也有影响；常数类型特征对不同类型的学生影响也不同，对于学优生和学中生来说，问题表面特征对问题解法迁移没有影响，对于学差生有显著影响.