凸显数学的思维过程 促进学生的长效发展

毛锡荣

(无锡市辅仁高级中学　214123)

现行的数学教材，基本上是按照形式逻辑的要求展开的，呈现的内容及其表述绝大部分是演绎论证，在一定程度上掩盖了发现这些数学知识的原始思维过程，例如问题的发现过程，概念的形成过程，方法的思考过程，规律的揭示过程以及各种计算方法的逐步演变和优化过程等等．即使有些内容对发现问题的客观背景能够有所揭示，但也仅仅是平铺直叙，让人感觉来得一帆风顺，而缺少尝试、曲折以及思维形式的多样和复杂的过程，这给学生学习这些知识带来了许多困难，或是不易弄懂，或是难于理解，导致对所学的知识、思想和方法似懂非懂，知其然而不知其所以然，影响了对相关知识、思想、方法的体会和掌握，虽然教师认认真真地教，学生辛辛苦苦地学，但效果却差强人意．

为了解决这一问题，教师要站在学生的视角，学会运用学生的思维方式进行思考，在实施教学时注意充分还原、暴露和展示数学的思维过程，设法在学生的思维活动和专家的思维活动之间架设起桥梁，努力实现专家的思维活动、教师的思维活动与学生的思维活动的和谐统一．这就要求教师一方面要熟悉学生的思维特点，对所讲授的内容进行深入的思维过程的分析和思维层次的设计，寻求或者模仿发明、发现这些数学知识和方法时的原始思维过程；另一方面要能想学生之所想，思学生之所思，疑学生之所疑，努力尝试与学生一起走入原有经验中去，在学生的思维水平上展开教学，让学生在思维的水到渠成中掌握数学的知识、思想和方法，从而降低新知学习的难度，提高新知学习的效果．

1　还原专家的思维活动过程，完成知识和方法的有效建构

数学教学中存在着三种思维活动：一是专家的思维活动，通常以演绎的形式将复杂的思维过程处理成凝炼的思维结果，以书面语言为载体展现在课本上；二是教师的思维活动，以语言、板书、课件等为载体呈现在课堂上；三是学生的思维活动，以对话、质疑、板演等形式反映在探究中．教学的过程就是学生在教师的指导下，学习专家的思维活动的过程．学生学习的思维过程与专家的思维过程(数学知识的发现过程)同步，才能保证学生思维结构的形成和发展，使得愈来愈和专家的思维结构相似．这种同步和相似的思维结构，对于培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力从而学会数学思维、提高数学素养显得尤为重要．

案例1“二项式定理”一课的教学片断

师：初中学习多项式的乘法时，我们得到了完全平方公式，同学们还记得这个公式吗？

生众：(a+b)2=a2+2ab+b2．

师：大家有没有想过，(a+b)3=？

学生动手尝试，得出：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3．

师：我们自然会想到更一般的问题，这个一般性问题是什么呢？

生众：(a+b)n展开后是什么？

师：很好！要注意n是正整数．如何解决这个一般性问题？请谈谈你们的想法.

生众：先猜后证.先根据n= 2，3，4 时的展开式，观察它们的规律，猜测出(a+b)n的展开式，再进行证明.

师：由特殊到一般，由具体到抽象，是研究问题的一种基本方法．请按照这个方法试一试.

(学生计算(a+b)4=(a+b)(a+b)3=(a+b)(a3+3a2b+3ab2+b3)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，结合n= 2，3的展开式，似乎发现了一些规律，但对(a+b)n展开后是什么，感到困惑.)

师：大家猜测出展开式是什么了吗？

生1：(有点沮丧)还没有，但我猜测(a+b)n展开式的每一项都是n次的，有n+ 1项，系数具有对称性.但系数究竟是什么，还不清楚.

师：不错！虽然还没有完全解决，但已经有了很大的收获.为避免字母的干扰，把n= 2，3，4时展开式的系数抽出来，排成三列，看看能发现什么规律？

生2：两端都是1，中间的系数是上方两个数的和.

师：非常好！我们在无意中穿越时空，得到了与一千多年前我国著名的数学家杨辉同样的一个发现.请看大屏幕：(投影)

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10105 1

………………………………

(介绍“杨辉三角”，略.)

师：有点遗憾的是，尽管对于任意的自然数n，通过杨辉三角形都可以写出(a+b)n的展开式，但还没有找到它们统一的表达式.直到1664年，英国著名的物理学家和数学家牛顿，才利用排列组合的原理，彻底解决了这个问题.牛顿是怎么解决这个问题的呢？

(学生茫然.)

师：华罗庚先生曾说过：“善于‘退’，足够的‘退’，‘退’到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍．”这是解决和探究数学问题的一种重要的指导思想．有时候为了认清数学问题的本质，需要退回到数学问题的起点，寻找数学问题之间的内在联系．

在我们试图从n= 2，3，4 的展开式的结论出发，归纳猜想一般性的结论时，已经运用了以退为进的思想了，但还没有成功.是否有别的“退”的途径呢？

(学生茫然.)

师：能否从n= 2，3，4 时展开式的生成过程来思考？先来看(a+b)2=a2+2ab+b2，这个展开式是怎么得到的？

生众：(a+b)2=(a+b)(a+b)，再利用多项式乘法运算法则得到的．

师：很好！多项式乘方的本原是多项式自乘，其展开式是利用多项式乘法运算法则得到的，这样我们就从另一个途径“退”到最原始的地方了．

师：我们一起来分析n= 3时的情形．

(投影给出：(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=……=a3+3a2b+3ab2+b3．)

师：从中能发现每一项系数的构成规律吗？例如a2b这一项的系数．

生3：a2b是两个a和一个b相乘得到的，这两个a和一个b分别来自三个括号，三个括号中两个选a一个选b.

师：它的系数可以怎么表示呢？

师：请用组合数的形式写出n= 2，3，4 时的展开式．

(学生用组合数的形式写出n= 2，3，4 时的展开式．教师巡视，个别指导.)

师：通过上述探索，能否得到一般情况下的展开式呢？如何得到？

(教师板书.)

师：要不要证明？为什么？

生众：由归纳猜想得到的结论不一定正确，要说明其正确性，就必须证明.

…………………………

二项式定理是代数学的最基本内容之一，在数学发展史上占有重要的地位，有着丰富的内涵和悠久的历史，但是由于二项式定理这一内容的教学课时较少，在高考中占的分值又较低，不少老师在教学时往往只注重形式，把二项式定理作为展开二项式的一个工具，认为学生知道展开式的结果并能运用它来做题就可以了．这种功利性的教学忽略了二项式定理更深层次的内涵和价值，使学生对二项式定理发生和发展的过程一知半解，在知识建构的关键处存在认知障碍，影响了学生的数学理解．上述案例的教学处理，教师选用的内容全都源于教材，只是把教材中省略的专家的思维活动“还原”了，让学生充分经历了二项式定理形成和发现的真实过程，深刻地体验了研究数学问题的思维方法．通过教师精心创设的递进式的问题情境，引领学生像科学家当年推导发现二项式定理那样进行探索发现，不仅使学生了解了知识和方法的来龙去脉，完成了知识和方法的探索与建构，而且有效地激发了学生探究学习的兴趣，培养了学生数学思考、理性思维和科学发现的能力，使学生在学会知识的同时收获了方法、学会了学习．

2　展示教师的思维活动过程，实现重点和难点的有效突破

著名数学家萧荫堂先生认为：“有时教授备课不足，笨手笨脚地算错了数，从他搔着首、念念有词的改正中，反而可以看出他的思路，真正学到些东西．”可见，教学过程展示教师教学思维活动是何等的重要．教师要能蹲下身来，贴地而行，与学生一起展开由未知到已知的探索活动，在探讨问题的过程中，边想、边讲、边写；当解题受阻时，再及时地改变思路，重想、重讲、重写．教师要不断地在课堂上把自己置于危险的境地，引发出自己头脑中的思维火花、瞬时灵感和科学想象，这样便可以使学生目睹教师灵感迸发、创意涌出的全过程．这样，把学生不自觉地引向探讨问题的真实情境里，吸引到问题解决和创造发现的过程中来，了解教师是如何思考问题、如何创造性地得出结论，从而获得有益的启发，学会合理地联想、科学地思维，有效地解除学习的障碍，突破认知的难点，深化对所学知识和方法的理解．

案例2“三角函数的应用”一课的教学片断

师：同学们，请看大屏幕．

问题一个半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．试将点P距离水面的高度Z(m)表示为时间t(s)的函数．

师：请大家思考一下，运用已经学过的知识，怎样解决这个问题？可以相互讨论．

生1：确定点P的位置，写出点P的纵坐标．

师：如何确定点P的位置？我们首先要做什么？

生1：建立坐标系．

师：怎样建系呢？建系的最优标准是什么？

生1：以O为原点、水平方向为x轴建系，建系要尽量使计算简单，图形尽量对称．

师：有了平面直角坐标系，现在能表示点P的纵坐标了吗？

生1：不能，点P的起始位置不在x轴上，需要引入初始角φ．

师：设哪个角为φ？

生1：设∠P0Ox=φ．

师：哪儿出错了呢，怎么改？

生2：∠P0Ox=φ不可以表示任意角，应该设以Ox为始边，OP0为终边的角为φ．

师：φ角有范围限制吗？

生2：φ角终边在第四象限，所以

师：现在你能给出解答了吗？

师：怎么求φ?

生2：因为当t=0时，Z=0，所以sinφ=

师：这个问题看上去关系复杂，但通过建立恰当的平面直角坐标系后，转化为用角φ的正弦来表示点P的终点坐标，就可以很方便地将高度Z用角φ的三角函数表示出来，关键是如何确定以Ox为始边、OP为终边的角．

简明的教学环节如剥茧抽丝，由环环相扣又层层递进的问题串引领学生展开数学思考，这个过程充分而又十分自然地展示了教师自己思维的过程．通过层层递进的问题串，让学生明白求点P距离水面的高度Z，教师自己是怎么想的，这比直接讲解这道题如何做要有效得多．在展示教师自己的思维活动的过程中，发现了学生不适应引入任意角，而习惯设∠P0Ox=φ，教师就顺其自然得到错误结论，并引导学生谈谈自己的想法和做法．这样，一方面可以吸引学生的注意力，让学生尽可能多的参与到课堂共建中来，而不是觉得课堂仅仅是教师一个人的“独角戏”；另一方面，给学生一个很直观的感受就是：学生的思维与教师的思维贴近，有助于学生跟上教师的思路，清楚地发现自己容易犯错的地方，通过认真听课，更好地理解教师在解决这一类问题时所运用的思维方法，进而自然的将这个思维过程潜移默化地迁移到自己的解题过程中来，悟出同一类问题的处理方法，并知晓面对这类问题时应该如何入手、怎样思考？从而有效地掌握解决这一类问题的思维方法，收到举一反三、触类旁通的效果．

3　暴露学生的思维活动过程，促进学生认知的深化与理解

前苏联著名教育家斯托利亚尔指出：“数学教学是数学活动(思维活动)的教学，而不仅是数学活动的结果——数学知识的教学．”也就是说，数学教学不仅要反映数学活动的结果，而且还要善于暴露得到这些结果的思维活动的过程．专家和教师解决数学问题的思维过程与学生的思维过程存在着明显的差异，无法代替也不应该代替学生的思维过程．只有让学生亲自经历探索的曲折情节，使思维带有悬念色彩，才能增添学习的情趣，从而成为“有意义的学习与保持”．因此，要不断增强课堂活动的开放程序，引领学生主动地参与教学活动，抓住思维的启动、过程和诱因，创设广阔的思维空间和智力背景，提供学生观察、操作、表达、思考、交流、和表现的机会，使学生在开放的思维活动中获取知识，并藉以训练和发展相应的数学能力．

案例3《必修5阶段测试讲评课》的教学片断

根据数列单调性的意义，可得解法如下：

(原来学生受函数单调性的影响，只注意到了数列单调性与函数单调性的联系，而忽略了数列单调性与函数单调性的区别．)

师：上述两个问题有区别吗？

生3：两个问题的定义域不同，第一个问题是指在对一些孤立点(n,an)(n∈N*)呈现单调递增的特点，而第二个问题是指由两段连续函数图象构成的新函数呈现单调递增的特点，它们是有区别的！

师：很好！既然两个问题之间有区别，那么反思生1和生2的解法，有什么不恰当的地方？应该怎么纠正？

生4：生2的解法是对的，生1忽略了数列单调性与函数单调性的区别．由3-a>0，可得数列{an}(n=1，2，3，4，5，6，7)是单调递增数列；由a>1，可得数列{an}(n>7,n∈N*)是单调递增数列，为使数列{an}是单调递增数列，只须7(3-a)-3

生5：根据数列单调性的特点，问题1只要由a6

师：非常好！生4和生5的解法揭示了数列的单调性与函数的单调性之间的微妙的差异．数列是一种特殊的函数，数列的单调性与函数的单调性之间既有联系又有区别，只有弄清了它们的联系和区别，在解题中才能不出差错．请同学们思考这样的问题：怎样证明数列{an}(n∈N*)是单调递增数列？

生6：只要证明an+1>an对一切n∈N*都成立就行了．

…………………………

上述案例中，教师既没有组织大量的题目让学生操练，也没有滔滔不绝的讲解和分析，而是通过一道典型的测试题，针对学生解题中的思维缺陷，组织学生进行对话、合作和交流，通过学生的活动，及时捕捉住他们思维的困惑和障碍点，利用学生暴露出的错误思维，鼓励其开展探索活动，并在更高的层次上引领学生继续思考．教师站在学生的立场上，抓住数列单调性的本质特征和学生产生错误的根源，循着学生的思维轨迹，紧追不舍，不断地由此及彼，由浅入深，思路越探越清，问题越探越明，知识越探越透，将学生的思维活动过程完全地暴露了出来．不仅加深了对函数单调性和数列单调性的认识和理解，而且使学生的思维在问题的碰撞中迸发出创新的火花，让学生体验了成功的快乐，调动起学生发自内心的学习和探究新知的积极性，培养了学生的问题意识，孕育了学生的创新精神，让我们真切地感受到了学生思维的激流涌动，使课堂真正地成为智慧飞扬的天地．

培养学生良好的思维品质、使学生学会数学思考与理性思维是数学教学的重要任务和首要目标．在数学教学活动中，教师既要善于还原专家的思维活动过程，让学生了解专家是怎么发现知识和运用方法的，又要注意展示教师自己的思维活动过程，让学生体会教师在解决数学问题时是怎么想的，还要能够让学生充分暴露自己的思维活动过程，说出他们的想法，捕捉学生思维的闪光点，把课堂变成师生共同提出问题、共同解决问题的阵地，引领学生主动地学习，促进学生积极地思考，使学生在自己亲身经历的活动中理解数学知识发生、发展和完善的过程，体会数学知识的应用价值，激发学生数学学习的兴趣，指导学生学会数学学习的方法，从而全面提高学生的数学素养，为学生的长效发展和终身发展奠定坚实的基础．