数学教材章头课的理性分析及教学建议①

蔡甜甜　宁连华

(南京师范大学教师教育学院　210097)

基于《普通高中数学课程标准(实验)》的多个版本的数学教材在每章的开头都有章头图与章引言，二者作为一章的起始，常为本章的知识要点、思想方法作铺垫，或者展现本章内容在实际生活中的应用，传播数学文化.虽然有时不涉及具体数学知识，但对整章内容的学习却起着提纲挈领的作用.而在实际数学教材实施中，忽略、淡化、应付章头课教学的现象比较普遍，致使颇具教学价值的良好素材无形中滑过，造成了一种不应有的浪费.事实上，如果教师能深入挖掘教材的章头图、章引言，整体把握章节教学内容，把章头导入环节上升到“课”的高度，将会有效地提高数学课堂教学的效能.

本文旨在探究章头课的内涵、理论依据、教学价值，并结合具体章节的数学内容，对如何进行数学章头课教学提出一些思考与建议，希望能够为形成主动开发利用章头课的教学旨趣产生积极的影响.

1　章头课的要义分析

1.1　章头课的内涵

目前，数学课常见的课型有概念课、命题课、复习课、讲评课、习题课等，而章头课的提法还较为新颖，尚未成为广泛实施的专门课型.章头课，从字面上理解，即为一章开头所进行的起始课，因而也常被称为章起始课.然而，有研究者将章起始课理解为一章教学内容的第一课时，或者是引言加上第一课时.这与本文想要讨论的对象有所不同，为避免混淆，本文采用章头课的概念如下.

章头课，指在进行本章第一小节内容的教学之前，所实施的以启发学生思考、建构章节整体结构、渗透数学思想方法为主要目的的课型.由于课时紧张等原因，在日常教学中专门设计一节课来进行章头导学的情况比较少见，不少教师常会忽略教材中的章引言和章头图，或者仅在第一课时的教学中一带而过.事实上，章头课教学能够帮助学生构建良好的数学认知结构、掌握基本思想方法、感受数学应用的广泛性，对培养学生的数学核心素养大有裨益，应得到足够的重视.

1.2　章头课的理论依据

1.2.1结构主义教学理论

结构主义教学理论对教育理论及实践的发展有着重要影响，其代表人物是美国教育心理学家布鲁纳.受结构主义心理学家皮亚杰的影响，布鲁纳的教育理论十分重视结构的重要性.他指出学习任何学科，主要是要使学生掌握这一学科的基本结构，同时也要掌握研究这一学科的基本态度或方法.学习结构就是学习事物是怎样相互关联的,掌握某一学术领域的基本观念，不但包括掌握一般原理，而且还包括培养对待学习和调查研究、对待推测和预感、对待独立解决难题的可能性的态度.[1]依据布鲁纳的结构主义教学理论，中学数学教学应使学生掌握数学学科的基本结构、基本思想方法.对“结构”的关注正是章头课教学的重点所在，结构主义教学理论与章头课的教学理念相契合，为其提供了理论支撑.

1.2.2“先行组织者”策略

美国著名教育心理学家奥苏伯尔提出了“有意义学习”的教学理论，认为一切有意义的学习都是在原有学习的基础上产生的.在呈现正式的学习材料前，先用学生能懂的语言介绍一些比学习材料更一般、更开阔的引导性材料，这些引导性材料充当了新旧知识联系的桥梁，被称为“先行组织者”.“先行组织者”策略即指在呈现新教学材料前为学生提供一个框架或结构，使教学内容组织、转化成有意义关联的部分.[2]在章头课教学中，教师可对本章进行整体架构，给出后续研究方向，渗透数学思想方法，学生所获得的概貌性、基础性的认识即是学习本章内容的“先行组织者”.奥苏伯尔所提出的逐渐分化、综合贯通、序列巩固三大原则，也与章头课的理念相吻合.

2　章头课的教学价值

合理进行数学章头课教学，可以帮助学生全面构建数学知识结构，掌握数学思想方法，激发学习兴趣，对于提高数学教学有效性有重要价值.

2.1　帮助学生对章节内容形成概貌性认识

进行章头课教学，可以起到导入作用，向学生概略地展示本章的主要学习内容，帮助学生理解本章内容的地位与价值.另一方面，章头课教学可以让学生了解本章的教学目标，减少学习过程中的盲目性，有利于主动学习的开展.章头课的主要目的在于帮助学生对章节内容形成概貌性的整体认识，而不是对本章内容进行面面俱到的介绍，这是教师实施章头课教学时首先需要明确的.

2.2　渗透数学思想方法与数学文化，提高应用意识

相较于数学事实性知识的学习，数学思想方法的掌握对学生的终身发展有着更重要的意义.日本教育学家米山国藏就曾深刻指出：“纵然是把数学知识忘记了，但数学的精神、思想、方法也会深深地铭刻在头脑里，长久地活跃于日常的业务中.”在章头课中，教师可以通过由浅入深的例子，渗透本章所涉及的数学思想方法，为开展后续学习作铺垫.《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确指出：在教学活动中，教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术、社会发展中的作用，感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养.[3]章头课教学中可介绍数学史、呈现数学在生活中的应用，帮助学生欣赏数学的文化价值、提高数学应用意识.

2.3　展现不同知识间的联系，螺旋上升

数学各部分内容之间是相互联系的，一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的.[4]通过章头课教学，教师可以引导学生发现本章将要学习的内容与已有知识之间的联系与区别，帮助学生更全面地认识数学的基本结构.例如，在“一元二次方程”章头课中，教师可以启发学生关注“一元二次方程”与已经学过的“一元一次方程”之间的异同；在“平面向量”章头课中，教师可以让学生从实际生活中发现有些量不仅由大小决定，还与方向相关，思考新的数学对象“向量”与已经熟知的“数量”之间的区别与联系.这样学生可以在已有知识的基础上螺旋上升、逐步提高，也有利于学生运用类比等方法探求新知.

2.4　激发学生学习兴趣，产生积极的学习心向

学习兴趣是在学习活动中产生的，力求探索学习内容的具有强烈感情色彩的认知倾向，是学习动机中最现实和最活跃的因素.[5]中学数学教材一般是以演绎的形式进行编排，更强调思维的严谨性，有时会让学生感到晦涩难懂，不容易激发学生的学习兴趣，不少学生会认为数学有些枯燥乏味.在章头课教学中，教师可以通过讲述历史上的数学轶事、介绍数学知识的实际背景与应用、创设贴近学生现实的情境、设计合理的探究活动等途径，激发学生对数学内容的学习兴趣，增强学生的求知欲和学习动机，帮助学生产生积极的学习心向，这也是提高数学课堂教学效能的关键.

3　 对章头课教学的思考与建议

基于上述对章头课教学内涵与价值的理性分析，结合具体数学内容与教学实践，提出如下几点关于数学章头课教学的思考与建议.

3.1　深挖教材，重视章头图与章引言

数学教材是学生学习数学、教师教授数学的重要资源，深入研究教材所提供的材料背后所蕴含的数学知识、思想方法是进行有效数学教学的基础.数学教师研读教材，自然也包括章头图和章引言部分.但是，在教学中，往往对章头图、章引言的作用认识不足，不为人们所重视，忽略它的教学也并不少见.事实上，这些图片或文字往往言简意赅地体现了本章的知识要点与思想方法，值得深入挖掘与延伸，也为教师设计章头课教学提供了重要的参考依据与素材.

例如，苏教版高中数学教材必修4的第一章“三角函数”的章头图是海边潮涨潮落的场景，从表面上看似乎只是一张背景图，与本章学习内容并无太大关联，但仔细思考会发现三角函数正是刻画潮汐现象的重要函数模型，这一章头图体现了三角函数在实际生活中的广泛应用，值得关注与思考.

再如，苏教版高中数学教材必修4的第三章“三角恒等变换”的章引言中，由一个“周期运动的叠加”的特例，提出“sinx+cosx能否恒等变形为Asin (ωx+φ)的形式”的问题，进而引出三角恒等变换的内容.然而，该特例较为复杂，仅粗略看教材上所呈现的内容，不太容易理解问题的本质.同时考虑到时间原因，多数教师在教学中不会详细讲解这个例子.然而，如果进行章头课教学，教师就可以考虑启发学生深入思考这一问题，进而发现其与本章内容之间的密切联系.

问题点Q绕点P在半径为1的圆P上运动的同时，点P又绕点O在另一个半径也为1的圆O上运动，O为定点，P,Q两点的初始位置如图1所示，其中OP⊥QP，且P,Q两点以相同的角速度逆时针方向运动，这时，点Q的运动如何刻画？

图1

分析教师可以启发学生联系之前所学，从三角函数、平面向量两个角度尝试求出点Q的坐标.

(1)三角函数：(如图2，只需求出线段OQ的长度和∠QOA的大小，便可由三角函数的定义求得点Q的坐标.)

设∠POA=x，则

图2

如图2，设∠POA=x，

=(cosx-sinx,sinx+cosx),

即点Q的坐标为(cosx-sinx,sinx+cosx).

反思用两种方法求得的点Q坐标应当是相同的，所以

由此提出“正弦函数与余弦函数的叠加能够恒等变形为Asin (ωx+φ)的形式”的猜想就更自然、更顺畅.

在“三角恒等变换”章头课中，通过对上述特例的求解与反思，可以更自然地引出本章将要研究的主要内容.同时，这一问题的求解还回顾了前两章所学的“三角函数”和“平面向量”的内容，体现了知识之间的联系，也为后面用向量方法来推导两角和与差的余弦公式作了铺垫.更重要的是章引言对“周期运动的叠加”问题的探究，有助于学生理解为何要研究三角函数的恒等变换，也体现出三角函数在实际生活中的广泛应用.

3.2　建构框架，章头课宜“粗”不宜“细”

在一节课中呈现一章所有的数学知识，是难以实现也没有必要的.章头课的重点在于建构章节的知识体系，使学生对章节内容及结构形成概貌性的认识，在清晰目标指引下进行后续学习.在章头课中，教师应遵循整体性和结构性原则，精选教学内容.特级教师陶维林老师认为，章头课教学应该“虚”的多一些，“实”的少一些；宏观多一些，微观少一些；宜粗不宜细. 这正是因为讲得太过详细反而可能模糊整体结构，著名数学家波利亚也曾指出：“如果你深入到细节中去，你就可能会在细节中迷失自我.过多过细的枝节对思维是一种负担.它们会阻碍你对要点投入足够的注意力，甚至会使你全然看不到要点.”

以“平面向量”章节为例，这一章主要研究“平面向量”这一数学模型的概念、运算、性质和应用.章头课的重点应在于引导学生发现生活中有些量必须用数值和方向才能表示，为帮助学生认识向量的这一特征，可以联系“三角函数”内容温故知新：对于给定的点O，点P的位置可由OP的方向和OP的大小确定.平面向量的具体运算法则、性质等内容不必在章头课中细致展开，而应更注重建构向量的知识体系(如下所示)，让学生知道从哪些方面来研究“向量”，教会学生研究数学对象的一般思路和方法.

向量是一种重要的数学模型，模型思想也应贯穿本章学习.在章头课中，教师要注意培养学生的数学建模素养，发展学生的数学应用意识，让学生熟悉用建模方法解决实际问题的一般过程：现实世界中的问题⟹建立数学模型⟹对数学模型进行研究⟹利用数学模型解决问题.

3.3　注重类比，预知本章学习内容与方法

类比是中学数学教学中常用的思想方法，也是提出猜想、进行数学研究的重要途径.很多数学内容之间都存在着相似的属性，可以通过类比的方法来学习新知.章头课教学中，教师可以引导学生发现将要学习的内容与已经学过的某些知识之间的相似性，通过类比预知本章将从哪几个方面、采用哪些方法来研究新的数学对象.分式、立体几何等很多数学内容都可以用类比的方式进行章头导学.

例如，分式的学习可以类比分数的学习.在“分式”章头课中，教师可以引导学生发现分式与分数之间的相似属性，通过类比分数的学习过程，猜测将如何研究分式这一新的数学对象.预知本章将要研究分式的定义、基本性质、运算等内容后，学生就能更有目的性地进行后续学习，有利于提高学习效率.值得注意的是，分式作为代数对象，其定义不同于几何对象的定义，教师不必在分式的概念辨析问题上花太多时间，而是可以利用章头课的教学进一步加深学生对于用字母表示数的理解.在建构“分式”章节知识框架的基础上，如果学生学力水平较好，教师还可以考虑从更高层次呈现代数式的分类与结构(如图3所示)，帮助学生更全面地建构数学认知结构，提升思维的整体性.

图3

3.4　问题导学，借由问题解决引出新知

类比的方法并不适合于所有内容，对于不容易用类比方法引入的教学内容，教师可以考虑创设情境、提出问题来导入本章学习内容与方法.“数学问题是数学的灵魂”，在章头课中，教师可以围绕本章的中心内容设计一系列问题，启发学生自主思考.借由问题的解决引出新知，在解决问题的过程中学习，也不失为数学教学的一种有效方式.以问题导学的方式实施数学章头课教学，也能更好地培养学生从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力.

以“导数及其应用”章节为例，教师在章头课中可以引导学生从实际情境中抽象出数学问题.例如展现一幅气温变化图，让学生思考为何不同时间段气温变化带给人的感受有很大差异：虽然气温变化的总体幅度相同，但是变化快慢不同，给人的感受也就不同.类似气温“陡增”的现象在生活中比比皆是，教师可以鼓励学生用数学的眼光观察世界，思考能否从中发现并提出数学问题，如：怎样刻画气温变化的快慢程度？能否用数学模型来刻画变量变化的快与慢？这样的数学模型有哪些应用？为彻底解决这些问题，就需要引入导数的概念，考虑如何求函数的导数，并探究导数在数学及实际生活中的应用，这些正是本章的主要内容.通过问题来指导学习，可以帮助学生明晰知识从何而来、为何要学习、又有何用途，是章头课教学的一种可行方式.

3.5　渗透文化，数学史融入数学教育

数学是人类文化的重要组成部分，数学教学应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐渐形成正确的数学观.在数学教育中融入数学史是渗透数学文化的重要途径，对数学史的了解有助于学生理解数学是通过人类努力已经并仍在继续发展的方法与知识体系，而不是奇怪的、随意的、无意义的法则与定义的集合.在章头课教学中，教师可以介绍数学轶事、融入数学史知识、渗透数学文化，增强数学学习的趣味性，引导学生欣赏数学文化.

以“数系的扩充与复数的引入”章节为例，历史上虚数的引入经历了颇为曲折的过程，但不少教师在实际教学中并不会介绍虚数引入的历史进程，或者最多一句话带过.教师这样安排或许是考虑到虚数引入的历史中涉及三次方程等学生理解起来较为困难的内容，而且也会占用较长时间.事实上，在章头课中，教师适当介绍虚数概念产生和发展的历史过程，可以让学生了解知识的来龙去脉，体会数学的文化价值与广泛应用.另一方面，学生从对数学史实的了解中会发现，数学家曾经也有过困惑，这是数学发展的必由之路，有助于增强学生数学学习的自信心.

4　结语

章头课作为一章内容的起始与引领，为后续教学内容的开展奠定了基础，有着丰富的教学价值.科学地设计并合理实施章头课教学，能起到事半功倍的效果.本文关于章头课的探索还只是初步和概要的，许多问题尚没有完全厘清，一些做法和建议尚待深入和实践检验，期待课程实施者及理论研究者能充分重视章头课的教学，在实践中不断完善章头课教学理论，形成重视章头课、开发利用章头素材的良好教学氛围.