圆的那些事儿

刘善娜

（作者单位：浙江宁波市奉化区实验小学）

【教学时机】

人教版六年级上册，圆的周长与面积学习完毕后，学画与圆相关的草图。

【教学过程】

一、回顾“圆出于方”

师：“圆出于方”，请迅速用一个草图来解释这句话。

小结：正多边形的边越来越短，越来越接近圆，圆是正无数边形。

【设计意图：学生在学习“圆的面积”相关内容时，从教材或者教师的课件中一般会接触到“圆出于方”的知识和图像，积累了一定的图像经验，但囿于精确作图的难度，学生都没有动手画“圆出于方”的经历。通过简单的草图，学生能更好地感知到圆作为正n边形的存在：正四边形→正八边形→……→正n边形。】

二、圆与方

1.画草图：正方形中最大的圆。

要求：有清晰的作图思路，有假设的数据（正方形边长为4厘米）标注。

（1）尝试作图。

（2）展示，说明为什么这是最大的圆。

小结：正方形内最大的圆，直径为正方形的边长。

师：正方形面积与圆的面积之比是多少？［（4×4）∶（22π）=4∶π］

师：如果直径是2，正方形面积与圆的面积之比是多少？［（2×2）∶（12π）=4∶π］

2.画草图：圆内最大正方形。

要求：在刚才正方形内的圆中画出最大的正方形。

（1）尝试作图。

（2）展示，说明为什么这是最大的正方形。

小结：将圆内最长线段变为正方形内最长线段，将两条垂直的直径端点相连。

【设计意图：圆内画出最大正方形，比在正方形内画出最大的圆要难一些。要让学生理解“将圆内最长线段变为正方形内最长线段”就得到了圆内最大正方形，掌握草图技巧。】

问1：这个圆内正方形的面积怎么求？

看草图分析，得出算式。

小△×4 → 2×2÷2×4=8

大△×2 → 4×2÷2×2=8

小结：切分成三角形计算是为了利用已知数据的直径来计算。

问2：圆的面积与圆内正方形面积之比是多少？（4π∶8=π∶2）

问3：大正方形、圆、小正方形的面积之比是多少？（4∶π∶2）

3.图形指认。

（1）若图中圆的半径为r，请在 图 上 分 别 找 到 4r2、2r2、r2、1.14r2、πr2、0.86r2，并说明理由。

（2）你还能在图上找到其他能用字母式表示的部分图形吗？

【设计意图：经历了画图、计算等分步骤地理解之后，让学生从字母式出发去图上指认对应的部分并说明理由，加深对圆与方的各部分关系的理解，最后提出挑战，让学生自己去发现其他的能用字母式表示的部分图形。】

三、圆环

1.呈现题组画草图，列式。

（1）一个半径为5米的花坛外面修了一条宽度为1米的小路，小路的面积是多少？

（2）大圆半径为6米，小圆直径为4米，两圆面积相差多少？

（3）水池的外圆半径达10米，内圆绿植半径达4米，中间储水池的面积是多少？

2.展示交流。

（1）错例分析。

（2）草图比较。

问1：这两组草图的绘制与数据标注有什么不同的地方？

第一组直接标注题目中的数据，第二组标注都是两个半径的数据，多了一步转化。

问2：绘制圆环问题的草图，有什么相同点？

小结：圆环图，都由两个圆构成，因此都要先画两个圆。圆的大小由半径决定，不管题目中已知的是什么数据，都要转化提取出两个圆的“大半径”和“小半径”。

四、拓展提升

1.一个直径为10厘米的圆内减去一个最大的正方形，剩余部分的面积是多少？

2.已知在一张边长为10厘米的正方形纸片上减去四个同样大的最大的圆，剩余部分的面积是多少？

3.下图阴影部分的面积为0.215平方厘米，求圆的面积。

五、全课总结（略）

【教学建议】

《圆的认识》单元教学中，更多的是利用圆规精确作图，这有利于对“圆”概念的理解，重在读图、析图、演算。教材编排了“圆与方”这一课教学，主要是通过教材提供的图与数据去探究圆与方的面积关系。而本课是要求学生自己画图，自己分析，重在通过草图提升问题解决的能力，培养几何直观的能力，更侧重方法、路径和策略。在实际教学中，有两点建议：

一、方→圆→方，循环画，画出“大小”，说出理由

在教材内容的学习中，学生已经知道圆内最大正方形的面积怎么求，知道圆内最大正方形的面积与圆的面积的关系。在这节课里，要让学生自己动手画草图，从正方形内画出最大的圆→从这个圆内画出最大的正方形，经历圆出于方、方生出圆的过程，感受彼此之间的大小差异，并能在画出来的草图中指认和说理4r2、πr2、2r2、1.14r2、r2、0.86r2代表的是哪一部分的面积。

二、错例中展开，强调关键数据的标注

圆环面积问题，学生出错较多。可以先呈现错例，让学生相互点评、讨论，小结出错误的根本原因就是R和r寻找失误。有了这一点认识，画相关问题的草图时，就可以引导学生不管题目中已知的是什么数据，都要转化提取出两个圆的“大半径”和“小半径”。