在丰富的活动中进行“量感”的意义构建——关于《体积和容积单位》同课异构带来的思考

蒋守成（特级教师）

（作者单位：江苏常州市金坛区朝阳小学）

“计量单位”教学的核心任务是培养学生的量感，那究竟什么是量感？指向量感的教学基本要求又是什么呢？一般来说，量感是视觉或触觉对各种物体的规模、程度、速度等方面的感觉。从教学层面来说，学生在学习任何一个计量单位时，都有两点基本的要求：一是要知道这个计量单位表示的实际量值；二是能进行简单的运用，既包括简单的单位换算，也包括简单的问题解决。由于不同类型的计量单位是用来描述日常生活或客观事物的不同方面，彼此间还又显现出一些差异。时间看不见、摸不着，时间单位的建立更多需要依赖学生的内在感觉；质量虽然也是对事物客观属性的一种描述，但它不是通过直接的“看”就能获得的，它还需要丰富的“做”的实践体验和感受来支持。长度、面积、体积单位都是对现实世界一维、二维、三维空间具体属性的刻画，是直观的、实在的、可视的，因而，客观物质世界是学好这些计量单位的重要载体。

量感就像乐感、语感一样，作为一种感觉，培养起来不可能是立竿见影的。因此，每次计量单位的教学，都是一段指向量感的意义构建的历程。蒋菊妹和吴荣强两位教师执教的《体积和容积单位》一课，虽然过程有所差异，但他们都通过开展有价值的数学学习活动进行了量感的意义构建，取得了殊途同归的良好效果。

一、依托材料，丰富“经验”，帮助学生进行“量感”的意义构建

在传统的教学过程中，教师一般会重视单位之间的换算，但事实上对计量单位的实际大小所形成的鲜明表象应该成为教学的主要目标，如何达成主要目标呢？两位教师在教学“体积和容积单位”时精心设计学习材料，适时“提供支架”、促进“多维体验”，帮助学生达成核心目标。

1.选好材料，内化“标准”，促进量感意义建构的过程迁移。

要形成量感，其基本前提是学生对于某个计量单位“有多长、有多重、有多大”有一个充分的认识，能够明确“标准”。要注意的是，学生知道了“1立方厘米就是棱长1厘米的正方体”的事实，并不等于建立了“1立方厘米的标准”。也就是说，“标准”的切身体验与个性内化才是重点。

蒋老师按照教材的顺序把认识1立方厘米作为认识三个体积单位的起点和重点展开，选择了学生非常熟悉的橡皮、黄豆、草莓、乒乓球、大米等物品作为学习材料，在认识1立方厘米的教学过程中蒋老师设计了四个数学活动：

一是选一选，“哪个体积单位比较适合作橡皮的体积单位？”强化1立方厘米和其他两个单位的区别，形成标准量。

二是想一想，“请同学们仔细观察这个棱长1厘米的小正方体，想一想，生活中还有哪些物体的体积接近1立方厘米？”寻找生活中的标准量。

三是比一比，“在黄豆、草莓、乒乓球和大米这些常见的物品中，哪些物品的体积比1立方厘米大？哪些比1立方厘米小呢？”强化标准量的大小。

四是摆一摆、数一数，“用棱长1厘米的小正方体摆成一个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体，它的体积是多少立方厘米？”感受一块橡皮的体积大小。

通过一系列数学活动更好地帮助学生建立起1立方厘米的表象，又为后续学习1立方分米和1立方米的标准量打下基础，彰显了教师助力学生内化“标准”的专业智慧。

2.用好材料，提升经验，经历量感意义构建的过程。

对于将要学习的体积和容积计量单位，每个学生脑海中都不是“一片空白”的，而是充盈着各种或凌乱、或有序的“前概念”，这是学生的已有经验，而学生获得新概念的过程，是一段由“经验”走向“真理”的历程。

吴老师打破教材的顺序，将体积单位进行整体同步学习，在让学生明晰三个计量单位的规定后设计了三个数学活动：

一是根据想象，做一做。“你能想象出1立方厘米、1立方分米和1立方米的正方体有多大吗？根据你的想象用老师提供的材料先来动手做一做，在做的过程中慢慢感受它们的大小。”教师精心选择六个具有结构化的学习材料（即1块橡皮、1块橡皮泥、8个棱长5厘米的小正方体、12根1分米的小塑料棒，12根1米的塑料杆，6块边长1米的正方形泡沫板等相关辅助材料）供学生动手做体积单位模型，其结构化主要体现在：正方体（如：棱长5厘米的小正方体）和非正方体（如：橡皮、橡皮泥等），以及整体的材料（如：橡皮等）和拼搭的材料（如：小塑料棒、泡沫板）这两个维度。学生做完后用信息发布的方式，分享制作方法和所做的计量单位的大小，这些都成为了教学的生成资源，为体积单位概念的理解找准了学生的现实起点。

二是举例比较，找一找。“老师为每个小组学具盒中准备了骰子、佛珠、花生、包装盒、皮球、酱料盒等材料，同学们可以去摸一摸、和桌上做好的正方体比一比，感受它们的大小，然后找一找体积大约是1立方厘米、1立方分米的物体有哪些？”通过寻找生活中的物体，引导学生把体积单位与生活中熟悉的事物联系起来，加深了学生对体积单位实际意义的感受；帮助学生积累丰富的空间感知，为学生空间观念的形成和发展打好基础。

三是想象和比划。“让我们闭上眼睛，想象一下1立方厘米有多大，现实中哪些物体是1立方厘米？同时用手势把它比划出来。1立方分米、1立方米呢？”通过比划和想象使每一个体积单位的建立都在学生心目中留下深深的“烙印”，而这些丰富的空间想象也可以使学生的空间观念得到进一步发展。

通过三个活动，让学生动得起来、学得进去、想得明白，帮助学生基于经验、逼近“真理”，经历量感意义构建的全过程。

二、突出关联，重视体系，促进学生形成计量单位的表征体系

结构性是数学知识的重要特点，计量单位也不例外。教学时，我们应该构建系统，突出概念的关联，让原本孤立的计量单位“拉帮结派”，展现网络样态，如此便能有力扩张学生的认知世界，让学生站在系统的角度明晰联系、关注区别，促进学生系统化、结构化的思维方式的形成。因此蒋老师和吴老师都注重体积单位的表征感知，从两个方面帮助学生建构“图形与几何”领域计量单位的表征体系，感受一维、二维、三维图形之间的联系与区别，建构量感的意义。

1.加强体积单位知识前后的联结，形成相互促进的良性循环系统。

知识之间是相互关联的，两位教师在教学中都非常关注知识间的前后联结，他们都从比较体积的大小引入新课，在此基础上明晰体积单位的大小的标准。事实上，学生对体积概念掌握的好坏对学生能否建立正确的体积单位表象是非常重要的，反之，建立体积单位也可以促进体积概念的进一步形成。

计量单位表象的建立并非一节课所能完成，需要教师在教学过程中不断联结，触类旁通。例如，在学生学习过程中，蒋老师安排了数一数、算一算，“这些物体都是用棱长1分米的正方体摆成的，它们的体积各是多少？”“估一估橡皮的体积、集装箱的体积、水桶的容积分别是多少？”吴老师虽然安排的内容与蒋老师有所不同，但其设计意图是一样的，都安排了求学生身边物品的体积大小，使学生感受到所含“体积单位的个数”正是“体积”的大小量的本质所在。这样既对体积和体积单位有了进一步的认识，又丰富了学生对身边常用物品体积大小的感性认识，正是这些感性认识的不断积累，才能够帮助学生更好地建立空间观念。同样道理，在后续学习长方体和立方体的体积计算时，可以将教材中出现“求长20米、宽16米、高 10米的长方体的体积是多少？”这样纯利用公式计算长方体的体积的习题，改成求学生的身边事物，如电饭煲、微波炉、数学书等的体积，这样在巩固方法的同时就获得了对物体体积的感性认识。

2.建立单位之间的联结，建构“图形与几何”领域计量单位的表征体系。

计量单位的教学往往存在共性，学生在长度单位、面积单位学习过程中的思想方法、学习经验都是学习体积和容积单位的基础。因此吴老师在导入新课时就通过微视频让学生回顾，明晰认识长度单位和面积单位都经历了统一标准的过程，将这一学习方法自然迁移到体积和容积单位的学习中，打通了学习“图形与几何”领域计量单位这一类内容的方法关联。

如何构建三者之间的联系和区别来形成表征系统，才能更加全面更加深刻地理解概念呢？蒋老师完整呈现三个图（如下图），引导学生看图说一说对1厘米、1平方厘米、1立方厘米的印象以及它们之间的区别和联系。以下是两位学生的回答：

“我的印象是：长度单位是一条一条的，用线段表示，面积单位是一块一块的，用平面表示，体积单位是立体的，一整个的。”

“我认为它们既有联系也有区别，一个棱长1厘米的小正方体，它1个面的面积就是1平方厘米，它的体积就是1立方厘米，它们都是这个正方体的一部分。”

这样统一完整的呈现，帮助学生整体感知到长度单位、面积单位、体积单位属于三个截然不同的领域，是用来表述物体或者图形的三种不同特质，即：长度、面积和体积，帮助学生厘清计量单位的归属，但学生对内在的联系还停留在具体事物中，而后蒋老师通过演示进一步沟通其内在的联系。

吴老师则在比较差异后，通过微视频演示动态的变化过程，让学生经历了从一维到二维，从二维到三维的过程：长l分米的线段是向一个维度伸展，如果向两个维度伸展便会形成一个边长为1分米的正方形面，l平方分米是10乘10等于100平方厘米，如果向三个维度伸展就围成了一个棱长为1分米的正方体，1立方分米就是10乘10乘10等于1000个1立方厘米。这样将长度单位、面积单位、体积单位差异比较和纵向发展脉络上的梳理，并进行内部思想方法上的沟通，通过单位间的联结以加深学生对体积单位的理解，真正让学生建构量感的意义。

不同的思考就会有不同的切入点和不同的课堂教学架构，从重构的角度来思考，我们可以从点、线、面、体之间的关系出发，从图形运动导入，在长度单位和面积单位动态变化中引入体积计量单位；也可以用预学单的形式引导学生通过看书、举例、提问，将体积单位有关的知识尝试进行自主的前期学习与梳理，并在自学的基础上提出问题，然后有序进行体积单位的研究；当然也可以从求长方体的总棱长、表面积入手，让学生学习体积单位成为需求。在聚焦体积和容积的体验活动展开的过程中，教师也可以有不同的流程，可以是基于教材的序从立方厘米开始，也可以从适合学生直观感知的1立方分米开始，也可以三个体积单位同步展开。

看似简单的计量单位教学，却包含着三重境界：其中感知、理解计量单位的概念，是计量单位内容教学的基础工程，这是第一重境界；面对一般对象能够进行比较、估测，形成正确使用计量单位的基本技能是第二重境界；面对特殊对象，能够进行合情分析与推理，灵活运用计量单位解决实际问题是第三重境界。要打开学生束缚的思维和束缚的手脚，让学生达到第三重境界，还有很多话题值得我们探讨：“如何激活和修正学生的生活经验？”“如何让学生在比较和选择中经历‘很不准’到‘比较准’再到‘准’的矫正过程？”“如何有效构建单位长度、单位面积、单位体积的建模过程？”“如何让学生学习的疑惑和错误成为生成的资源？”等等，期待更多的教师一起来实践、来探讨。