初中数学“存在性问题”研究

肖艳霞

【摘 要】存在性的问题是探索题目中比较典型的问题，在存在性问题中，探究的方向是比较明确的，即存在或者是不存在。下面，本文就初中数学中的存在性问题展开具体的叙述。

【关键词】初中阶段 数学教学 存在性问题

具体来说，“能力型”的问题其实也可以叫做“选拔性”的问题，通过对隐晦知识点的延伸拓展，考察学生的知识掌握情况以及迁移运用能力。一般来说，能力型的问题主要就包括存在性的问题，学生在对这种类型的题目进行解答的过程中，不仅要产生相应的知识敏感度，还要能够恰当的运用相应的知识，选择恰当的切入点进行解决。可以说，是对学生数学素养的考察。

一、初中数学“存在性”问题浅析

初中阶段的数学知识可以说是一个承上启下的过渡阶段，学生在这个阶段不仅要完成从“具像思维”到“抽象思维”得转化，还需要在进行学习的过程中，加强对自己数学素养的提高，加强对自己逻辑思维能力的培养。而存在性问题，恰恰是对这些能力的综合考察，这也就是为什么在近几年的初中数学中频频出现“存在性”的问题。所谓的“存在性问题”，其实也就是给出一个具体的题目，题目中给你一些相应的条件，然后，让学生经过对这些条件的研究，判断某个点或者是某种现象存不存在。其实这类题目主要的难点就在于其具有很大的跳跃性，它并不像常规的题目，给出你一系列的条件，然后理所当然的解答出某个问题，在这个问题中，需要学生能够准确的把握住存在或者是不存在的关键点，然后，通过利用题目中的相应条件，证明出这个关键点，最后给出答案。其实具体来说，我们通过数学语言进行描述，所谓存在问题也就是说，给出学生一个相应的条件M，然后判断Q是否存在某种特性。通过对“存在性问题”的具体解析，就可以看出，解答这类问题的关键就是，需要学生能够“看懂问题”，看明白问题后面究竟是想问你些什么问题，也就是说它存在或者是不存在是由哪个关键因素决定的，然后通过以这个关键因素为切入点进行逐步的剖析。

二、存在性问题的具体分类

1.广义分类

“存在性问题”具体来说也是有很多种的，从广义上来看，存在性的问题主要包括肯定的存在性问题和否定的存在性问题。

2.狭义分类

从狭义上来看，存在性问题的分类就显得多种多样了，具体包括以下几个方面。

（1）关于数值存在性的問题。

这类题目，显而易见就是给出一些具体的条件，让学生通过对这些条件的处理分析，证明是否存在某一个具体的数值，满足相应的条件。例如已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是直线y=-x+2与双曲线y=k/x （k≠0）的两个不同的交点.

①求实数k的取值范围；

②是否存在这样的k的值。使（x1-2）（x2-2）=x2/x1+x1/x2.

若存在，求出k的值。若不存在，请说明理由.

这类题目就属于数值类的存在性问题，需要学生经过推算，判断出是否存在这样一个数值满足相关的条件。具体解答如下，

（1）y=-x+2代入y=k/x，得x（-x+2）=k，x^2-2x+k=0，

有两个不等实根，判别式4-4k>0，

实数k的取值范围：k<1.

（2）x1+x2=2，

x1x2=k，

x1^2+x2^2=（x1+x2）^2-2x1x2=4-2k，

（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4=k，

x2/x1+x1/x2=（x1^2+x2^2）/x1x2=（4-2k）/k，

k=（4-2k）/k，k=-1±√5.

-1+√5>1舍去，k=-1-√5时，（x1-2）（x2-2）=x2/x1+x1/x2

通过对条件的层层深入分析，可以解答出相应的条件。

（2）图形的存在性问题。

另外一类就是图形的存在性问题，一般来说，图形类的存在性问题往往会与函数相结合，需要学生能够通过对函数图像的深入分析，判断出某个点或者是某种关系是否存在。对于这类问题的解答，往往有相应的解题思路。学生先对题目进行总览，然后假设相应的问题存在，然后对这个结论进行具体的推理，在推理的过程中，如果一切都合理，证明推论是正确的，也就是相关的现象是存在的，如果在推理的过程中，出现矛盾，说明假设是存在问题的，这时候，就可以证明相关的现象不存在。

三、解答存在性问题的思想

解答“存在性问题”的过程，往往需要学生具备相应的数学思想，具体来说，主要包括数形结合思想，要求学生能够通过数与形之间的相互关系，巧妙的进行相互转化，通过以形助数，找出具体的特殊点或者是特殊位置，结合相应的特性进行具体的计算，通过从数到形，结合相应数量关系的特征，找出具体的特殊点。另外，分类讨论思想也是学生所必须具备的，学生需要有这个意识，能够对条件进行具体分析，然后结合具体的分类依据，进行逐个击破。

总结来说，“存在性问题”是初中数学中的一大重点，但同时，也是学习的一大难点，这就需要教师在开展教学活动的过程中，能够结合具体的问题分析，开展恰当的教学活动，培养学生的思维能力，引导学生养成相应的数学思想。

参考文献

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[4]常如正.数学教学思考.学术期刊.中国教育，2014（10）