反例在初中数学教学中的作用

何艳萍

【摘要】数学教学中运用反例展开教学可以有效促进学生对概念、定理、公式等的理解和掌握，更直观地引导学生判断命题的真假，帮助学生克服思维定式，激发学生的学习兴趣。教师应结合实际选取具有针对性的反例并在课堂教学时选择恰当时机引入。

【关键词】初中数学 反例教学 意义与策略

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2018）04A-0125-02

在初中数学八年级的教学中，学生学习了“命题与证明”这一内容，接触到了反例这一概念。在数学教学中，证明在几何教学中的地位举足轻重，反例的地位与之不相上下。反例的构建和应用是一种非常重要的教学手段和方式，它有助于培养学生良好的思维品质，激发学生学习的兴趣，帮助学生有效进行知识的整合。如果教师能对反例运用得当，可事半功倍。

一、有效促进学生对概念的理解和掌握

数学概念是数学知识的基础，小学数学中的概念教学比较生活化、直观化，而初中概念教学由生活化向抽象化转换，更具有逻辑性。学生在学习概念时容易出现理解或认识错误的现象，要是教师只运用正面的例子来引导学生，学生的理解不够深刻，若教师在这个时候适当地列举反例，从反面消除学生出现的疑惑，从侧面抓住概念的本质，弥补正面例子的不足，可以加深学生对概念的理解，让学生不仅弄清“是什么”，还弄清“不是什么”。

例如，在“有理数”的概念教学当中，教师可以通过练习“请在下列数中找出所有的有理数：-2，[13]，0.56，1.1010010001……（1和1之间每次增加一个0），[1π]”展开概念教学，学生有可能会得出1.1010010001……（1和1之间每次增加一个0）和[1π]也是有理数的结论，教师可引导学生着重分析“有理数”的概念“整数和分数统称为有理数”表达的更具体的含义——分数可以写成有限小数或无限循环小数，所以又可以说有理数包括整数、有限小数和无限循环小数。1.1010010001……（1和1之间每次增加一个0）和[1π]都是无限的，但是它们是不循环小数，所以它们不是有理数。

再例如，在八年级学到“函数”概念时，学生认为只要一个变量随另一个变量变化而变化，就是函数。教师可以让学生思考以下问题：“下列变量关系中，说法正确的有哪些：①若[y]=x，则y是x的函数；②若y=2[x]（x≥0），则y是x的函数；③水管中水流的速度和水管的长度成函数关系。”正确的答案是②。说法①：设x=5，[y]=5，y=±5，在函数关系中，当给定了x的值，y只能有唯一的值与它对应，所以①的说法是错误的。说法③：水管中水流的速度不会受到水管的长度的影响，所以它们之间不存在函数关系。通过恰当的反例，学生深刻理解和掌握了所要学习的概念。

二、有效且直观地判断真假命题

肯定一个命题的正确性，需要经过严密的推理和论证，而要推翻一个命题，只需要一个反例即可。一个具体的实例让学生在矛盾冲突中，更深刻地理解和掌握与命题相关的概念性质。

例如：①如果[a]=[b]，那么a=b。

反例：当a和b互为相反数，如2和-2时，[2]=[-2]，但2≠-2。

②带有负号的数是负数或-a是负数。

反例：-0=0，或当a=-5时，-a=-（-5）=5，但0和5都不是负数。

③相等的角是对顶角。

反例：图1中互为邻补角的两个直角∠ACB=∠ACD，图2等腰直角三角形ABC中∠A=∠B，但是∠ACB和∠ACD、∠A和∠B都不是对顶角。

④带根号的数都是无理数。

反例：[9]=3，但是3不是无理数。

⑤如果a2=b2，那么a=b。

反例：（-4）2=42，但是-4≠4。

三、使学生正确掌握数学定理、公式和性质

学生在学习一个新的定理、公式和性质时，往往会忽视定理、性质中的关键词，不注意使用的条件，只侧重记住结论，生搬硬套从而造成解题错误。为了改善这一现象，教师可适当引入反例，帮助学生理解与掌握定理和性质。

例如，在学习八年级全等三角形的判定方法“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，记为边角边或SAS”时，学生往往忽略掉“夹角”这一个判定的关键，错误地记成“两边和一角”即SSA，此时，教师可以出示反例：如图3，AB=AB，AC=AD，∠ABC=∠ABD，已具备了“两边和一角”的条件，但显然第三边BC与BD的长度不相等，△ABC和△ABD并不全等。所以在满足了“两边和一角”的条件后，“一角”必须是“两边”的“夹角”才可以由“边角边”的判定方法得到三角形全等。学生理解了这个定理中夹角的“夹”的深刻含义，达到准确掌握和运用定理的目的。

再例如，学生在运用一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与性质时会忽略k≠0。教师在教学时可以有针对性地引入这样一道题：“一次函数y=（4a-5）x-（2a-2），当a，b为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？甲乙两名学生解答得到不同答案。甲的解答：-（2a-2）<0，解得a>1；乙的解答：4a-5≠0且-（-2a-2）<0，解得a>1且a≠[54]。谁是正确的呢？”学生在经过思考和讨论后，得出甲错、乙对的结论，教师此时就可以引导学生仔细观察，分析发现甲同学在解题过程中，忽略了一次函数斜率k≠0的条件，而乙同学在解题过程中考虑到了k≠0的条件。通过这一反例，教师引导学生从本质上理解如何正确运用定理与性质，学生认识到在实际解题过程中，必须要全面考虑满足定理、性质所需要的条件，注意当中的关键词，按要求去做。

四、有效克服思维定式

学生在学习过程中容易产生思维定式，反例的应用能够有效解决此问题。例如，在学习了勾股定理后，学生把“勾3、股4、弦5”念成了顺口溜，他们只要看到一个直角三角形的两边的长分别是3和4，就得到第三边的长为5，此时就有必要举出反例了：当边长为4的边不是直角边而是斜边时，第三边的长为[7]。这样一来，学生就会从多个角度去考虑问题，避免机械记忆。

五、有助于激发学生学习的兴趣，培养学生的思维

心理学试验告诉我们，差别大的东西、异常的信号，往往会刺激到我们的大脑，首先引起我们的注意；同样的东西，从不同的角度去看，会有不同的感觉，给人以新鲜感，让人产生继续了解的欲望。反例教学具有直观、生动、易懂的特点，教师恰当地运用反例能激发学生学习的兴趣，让学生在探索的过程中展开想象，享受创造的乐趣。

在讲授《实数》一节时，笔者在练习中设计了一道题：“请判断以下说法是否正确：①两个有理数的和一定是有理数；②两个无理数的和一定是无理数。”学生对这两种说法的正确性展开了讨论，尤其是在对②进行讨论时，举出了如[3]和-[3]，[π]和-[π]等反例，它們都互为相反数，和都等于0，0是有理数。有一名学生给出这样的例子：a=1.01001000100001……，b=2.10110111011110……，a与b都是无理数且不互为相反数，但a+b=3.11111111111111……却是一个无限循环小数，是有理数。这名学生给出的例子更进一步说明了说法②是错误的。通过举反例，学生对有理数与无理数的学习充满兴趣，更深刻地认识有理数和无理数，也引发了学生进行更深刻讨论：两个无理数的差会是有理数还是无理数呢？积呢？一个有理数与一个无理数的和、差、积又会分别得到有理数还是无理数呢？学生由被动学习转向主动学习。

反例教学是借助少量有针对性、有代表性的反面例子与正面例子进行比较，让学生获得全面的、完整的知识，掌握概念的本质。但是如果反例的引入时机不对，或反例繁杂、没有针对性，就会让学生更迷糊，弄巧成拙。所以，教师选取的反例必须从教学实践中来，真实而生动；必须少而精炼、有针对性、典型性；必须适时而入，循序渐进。

总之，在数学教学中恰当地运用反例教学，能使学生全面、深刻地认识和理解数学概念，巩固和掌握性质、定理，克服思维定式，发现问题、纠正错误，发散思维。因此，教师应加强对反例教学的研究，在教学中更灵活地运用反例教学、更好地把控课堂。

（责编 刘小瑗）