以能力立意为风向标的概率统计复习模式

胡其华

（肇庆市百花中学，广东 肇庆 526020）

一、基本情况

数学核心素养是指学生在数学学习过程中达到的综合能力，包括知识、技能和素质三大方面.核心素养具体体现为以下六种素养：数据分析、数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算及直观想象，其本质是对学生综合能力考察。

高考全国卷理科数学概率统计模块试题内容上，模块内知识点的整合比较明显，要求考生具有较好的抽象概括能力、数据处理能力、模型识别能力、运算求解能力，以及利用统计思想解释、说明现实生产活动中有关决策问题能力[1]，总之这一模块命题风向标“以能力立意”才是不变的主题。

近三年全国Ⅰ卷理科试题概率统计模块特点如下：

1.题量、题型稳定：客观题,填空题及解答题各有1道题。

2.难度稳定：选择和填空题难度中等或中等偏易；解答题位于第三小题，中等偏难。

3.综合性强：客观题经常将古典概型与计数原理、排列组合知识结合，或将几何概型与简单线性规划结合。解答题则以大数据时代为背景，将具有浓郁生活气息的生产生活实践为背景，以多种图表、数据为载体，有时甚至结合多种随机变量、函数知识综合出题，充分考察学生综合能力。

下面以2017年全国Ⅰ卷19题（题略）为例说明考题怎样对学生综合能力进行考察。

这道题的考点涉及二项分布、正态分布、小概率事件、均值及标准差计算。大部分学生都能掌握单个知识点，但众多知识点综合在一起，容易导致审题不准，没有思路。二项分布、正态分布、均值及标准差属基本知识；标准差公式的正确选择及变形使用、原理、用样本估计总体及小概率事件原理是数学运算能力；用3σ原理、小概率事件原理来解释生活中现象，是对数学素养综合考察。当然，这些素养是不能截然分开的，但总的来说这道题将核心素养考察体现的很到位。

二、原因

自2016年我省采用全国Ⅰ卷考试以来，概率统计这一模块得分率较低.分析原因主要有以下几点：

1.与广东卷相比，全国卷对概率统计模块的考察发生了量和质的飞跃，分值比重也有所增加.比如广东卷2014年理科小题考察分层抽样，解答题考察频率分布直方图、频率分布表、古典概型及其概率计算公式等；2015年理科卷小题考察古典概型、二项分布，解答题考察极差、方差与标准差、系统抽样等.试题所考知识点都比较单一，整合性不强。

2.部分教师没有把握全国卷的命题立意规律。复习备考时没有做到有的放矢，基本知识点的复习已经准备到位，但是不善于在知识点的交汇处进行整合，或者复习题不能彰显数学本质，不能以能力立意来复习。

3.教师对概率统计知识储备不足[2]。部分教师对概率统计基本概念、基本思想的认识处于模糊状态，理解不够深入,缺乏用统计思想答疑解惑及解释说明生活现象的能力。长期以来，部分教师遵循考什么就教什么的备考方式,对学生的复习备考引导不足。

4.学生阅读理解能力、抽象概括能力欠缺，对模块内部知识的整合能力不足，不能识别题眼从而对考点进行突破。

5.学生缺乏利用统计思想进行科学决策的活动经验和应用意识。

这些说明教师的教和学生的学以及复习备考都没有很好地针对能力培养，或者不舍利用大量时间指导学生参与相关的活动并总结经验,进一步内化成自己的知识，导致学生做题时不能切中要害得分。

三、解决措施

部分教师认为概率统计模块不宜强攻，因为找不到很好的着力点，尽管单个知识点已经铺垫到位.根据多年的教学经验，针对现阶段存在的问题，在核心素养观下以能力立意这一风向标，对概率统计模块的复习，提出以下建议：

1.教师一定要以核心素养观为指导，重视教材，抓好常规，开放思维，强化综合，引导学生绘制模块知识方法体系图，体现出各部分知识之间的联系和层级结构，使其立体化，体系化.特别是模块内的知识要全，不能有盲点和遗漏，必须训练到位.对小概率事件这些模糊的概念，也要讲解清楚；

2.教师要善于发现数学在生活中的应用，在课堂上精心创设更多的真实情境，设问要服务于能力考察的立意，让学生感悟到学习的意义和价值。要鼓励学生从不同角度思考问题，让学生体会到学习可以解决生活中的复杂问题，让学生的核心素养能够有效地发展；

3.高三全面复习时建议以能力立意为主线进行习题设计，进行模块内知识整合，以构建解决概率统计解答题的基本思路、基本方法，渗透统计思想，培养学生解决问题能力。

为此，再次对2017年的全国Ⅰ卷理科19题以能力立意为主线进行讲解，提问如下：

（1）基本知识：题中涉及几个随机变量？几种分布？有明显的题眼吗？

答：每个零件尺寸服从正态分布，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件数，这是二项分布的定义，应该说是题眼。

（2）基本技能：题中涉及哪些公式及计算？

答：题中有均值、标准差的两个计算公式可用来直接计算均值、方差，也包括公式的正确选择和变形使用。

（3）基本思想：题中涉及哪些统计思想？

答：样本估计总体的统计思想、3σ原理、小概率事件原理.

（4）基本活动经验：小概率原理怎样解释本题？

答：一次实验，小概率事件一般不会发生，如果发生了，说明监控生产过程方法的合理性受到质疑。

通过这样的思路，针对每道解答题，培养学生有意识地以这种模式进行审题；通过熟悉基本知识及基本技能，让学生掌握各种知识点；提高学生的阅读理解能力、综合实践能力，通过基本思想及基本经验总结、巩固学生利用统计思想解决、表述实际问题的能力，所谓的难点也就不攻自破了。

全国卷Ⅱ卷、Ⅲ卷，文科试题也不例外，但难度比理科Ⅰ卷稍低.在肇庆市端州区命题设计大赛中命制的一道文科概率统计题目比较好地阐释了以核心素养为主线的命题方式，供大家参考。

例 根据《环境空气质量指数(AQI)技术规定(试行)》(HJ633-2012)中的日报发布标准规定[3]：空气污染指数划分为0-50、51-100、101-150、151-200、201-300和大于300六档，对应于空气质量的六个级别分别为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染，其中优和良都适合户外活动。以下是我国某城区空气污染指数11月份前30天的检测数据：137、142、154、172、130、156、152、71、102、114、60、83、104、70、77、69、41、48、56、69、46、80、110、136、159、154、83、79、70、102。

（1）某公司想组织员工去该城区进行两日游，问该公司选择的两天空气质量均适合户外活动的概率是多少？

（2）以下是某连续4天的空气污染指数：46、80、110、136，请用线性回归法预测第五天的空气污染指数。

（3）完善下列频率分布直方图（略），若该市希望使85%的天数空气污染指数不超过标准x,估计x的值，并指出本市11月份数据符合此要求吗？

知识点说明：

第（1）题考点：古典概型，由于属文科所以只涉及列举法或树状图；

第（2）题考点：线性回归及应用，此处考虑对公式的选择：选得好，计算量就小；否则就很大。此外对数据组中的xi要学生根据题意自己确定，这是难点之一；

第（3）考点：频率分布直方图及数字特征，其次考察用样本估计总体的统计思想。

本题以大数据时代为背景，从PM 2.5实时监测网上下载的2017年11月份成都市的空气污染指数，综合考查学生数据处理能力、阅读理解能力、用统计思想处理生活中问题的能力。本题只能算是中档偏易的题目，所以适合放在第18题的位置。

[1]熊丙章，黄翔.“四基”对高中数学课标修订的启示[J].中学数学教学参考（上旬），2016(1-2)：2-4.

[2]刘富蕊.高中概率教学的现状、问题及对策研究[D].重庆：西南大学，2013.

[3]岳建良，李军民.离散型随机变量及其分布列[J].中学数学教学参考（上旬），2016(1-2)：81-86.