基于RD-SRT的TR MIMO雷达DOA估计算法

刘梦波,胡国平,周 豪,韩昊鹏

(空军工程大学 防空反导学院,陕西 西安 710051)

在通信领域,多输入多输出(multi-input multi-output,MIMO)技术可以扩展通信容量,提高通信质量。该技术依赖于系统的空间分集,可以用于雷达探测。MIMO雷达[1-2]在工作时,通过天线阵元分集和信号波形正交,增大了雷达系统的灵活性,具有更高的角度估计精度和自由度以及更好的参数分辨率,因此受到了广泛关注。

时间反转(time reversal,TR)技术并不是时间倒流,它起源于光学研究,通过相位共轭,实现光信号的能量聚焦。在复杂多散射环境下,TR技术[3-5]根据静态媒质中波动方程的时间对称性和空间互易性,利用相干叠加来处理多径分量,通过非相干叠加去除信号中的杂波干扰[6],从而使信号在时间和空间上聚焦。目前,各国学者对时间反转的研究大多为MIMO通信。

近年来,越来越多的国外学者将TR技术和雷达探测相结合,其中文献[7-10]将TR技术应用到雷达中,显示其独特的性能优势。文献[8]首次将TR MIMO雷达体制扩展到目标定位,推导出克拉美-罗界的表达式,并通过实验说明在强杂波的环境中,TR MIMO雷达有更好的目标定位能力。但是,MIMO雷达在拥有良好性能的同时,由于运算量的大幅增加,给工程实践带来了困难,而时间反转技术的接收重发也增大了计算冗余,所以TR MIMO雷达系统有庞大的计算量。目前,TR技术应用到MIMO目标定位也引起了国内学者的关注。文献[3]将TR技术应用于UltraWideband(UWB)-MIMO雷达,利用多重信号分类(multiple signal classification,MUSIC)算法进行DOA(direction of arrival)和发射角(direction of departure,DOD)联合估计,增强了雷达的抗噪能力,有更好的估计精度。但是,TR MIMO和二维估计[11-12]都具有庞大计算量,造成了更加巨大的计算复杂度。文献[13]提出了一种降维的MIMO雷达DOA算法,有效地降低了计算复杂度,并且对雷达的估计精度影响较小,但计算效率还有提升的空间。文献[14]利用旋转变换技术对噪声子空间进行降维重构,降低了噪声子空间的维度,从而有效地降低了估计时间,但算法的精度和目标分辨率都难以和MIMO雷达相比。

为了降低TR MIMO雷达系统的计算复杂度,更好地将TR 技术应用到MIMO目标定位中,本文提出了一种基于降维(reduced dimension,RD)子空间旋转变换技术(subspace rotation technique,SRT)的TR MIMO DOA估计算法。算法的主要思想是通过噪声矩阵按行分块并取其逆矩阵,构造低维噪声子空间,利用正交性原理获得MUSIC函数谱进行目标角度估计。相比于传统的TR MIMO DOA估计算法,本文算法有效地降低了计算量,提高了目标分辨率,对目标估计精度损失相对较小。

1 TR MIMO信号模型及MUSIC算法

1.1 TR MIMO信号模型

为说明算法,本文建立单基地MIMO雷达模型,MIMO雷达阵元间距为d(d为波长一半)且为均匀线阵,设计发射端阵元数为M,对应的接收端为N。假设存在远场目标,目标数为K。在此模型中,发射和接收阵列间距较近,所以发射角和接收角可作近似处理,设为θk(k=1,2,…,K)。如图1所示。

因此,在接收端通过匹配滤波器后可以得到信号矩阵为[13]

X=(At∘Ar)S(t)+n(t)

(1)

式中:At=(at(θ1)at(θ2) …at(θK)),Ar=(ar(θ1)ar(θ2) …ar(θK))包含了K个目标的角度信息;at(θk)=(1 e-jπsinθk… e-jπ(M-1)sinθk)T,ar(θk)=(1e-jπsinθk…e-jπ(N-1)sinθk)T分别为发射波和反射波导向矢量矩阵,S(t)=(β1ej2πf1tβ2ej2πf2t…βKej2πfKt)T,βk为目标散射系数;n(t)为均值为0且方差为σ2的高斯白噪声,“∘”为Khatri-Rao积。

At∘Ar=(at(θ1)⊗ar(θ1)at(θ2)⊗ar(θ2)…at(θK)⊗ar(θK))

(2)

式中:“⊗”为Kronecker积,At∘Ar为MN×K维矩阵。

为得到TR MIMO数据模型,根据时间反转的原理,将MIMO雷达接收端信号矩阵取共轭并且时间反转,进行能量归一化,再次发射出去。发射信号模型为εX*(-t),则TR MIMO接收端通过匹配滤波器后的信号矩阵为[8]

(3)

式中:ε为常数,作为能量归一化因子;(·)*表示取复共轭;η=(ej4πf1t|β1|2ej4πf2t|β2|2… ej4πfKt|βK|2)T为K×1维矩阵;v为M2×1维高斯白噪声,均值为0,方差为σ2IMM。

(4)

1.2 TR MIMO MUSIC算法

相对于理论分析,在实际操作中,考虑到采样数,协方差矩阵可以表示为

(5)

式中:(·)H表示取矩阵的共轭转置,L为采样快拍数。

对协方差矩阵R进行分解:

(6)

式中:λi(i=1,2,…,K)为R分解后的K个较大特征值,λj(j=K+1,K+2,…,M2)表示特征分解的M2-K个小特征值,ei和ej分别为λi和λj的特征向量。定义:

(7)

则分别以Es和En的列为基构成信号子空间和噪声子空间。根据正交性原理span(Es)⊥span(En),TR MIMO MUSIC算法为

(8)

2 基于RD-SRT的TR MIMO DOA估计算法

2.1 TR MIMO降维变换

由文献[11]可知,TR MIMO的合成导向矢量a(θ)中仅有2M-1个不同的元素,则a(θ)可以重新写为

(9)

式中:b(θ)=(e-jπ(M-1)sinθk… 1 … ejπ(M-1)sinθk)T是(2M-1)×1维矩阵,G为MM×(2M-1)维变换矩阵

(10)

根据式(10),定义W=GHG。则W=diag(1,2,…,M,…,2,1)∈C(2M-1)×(2M-1)。

利用W-1/2GH,可对接收信号Y作降维处理,则有:

(11)

(12)

此时,空间谱函数可表示为

(13)

2.2 子空间旋转变换

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

根据式(19)可构造如下空间谱函数:

(20)

2.3 p最优值讨论

根据文献[14]可知,p存在最优解使得本文算法的计算量最小。所以,根据p的取值范围,即2≤p≤2M-1-K,从算法复杂度入手,对p做如下讨论。

CFJ=O{(2M-1)2K}

(21)

CO=O{p(2M-1)(2M-1-K)}+O{(2M-1)(2M-1-K)}

(22)

将搜索范围设为[-π/2,π/2],总的搜索点数为T,那么在搜索时RD-MUSIC的复杂度为

CRD=O{2TM(2M-1-K)}

(23)

本文算法搜索时的复杂度为

CSS=O{2Tp(2M-p)}

(24)

综上所述,RD-MUSIC和本文算法的复杂度分别为

CRM=O{(2M-1)2K}+O{2TM(2M-1-K)}

(25)

CRSM=O{(2M-1)2K}+O{p(2M-1)(2M-1-K)}+O{(2M-1)(2M-1-K)}+O{2Tp(2M-p)}

(26)

一般来说,有T≫M>K,因此可作如下近似:

(27)

显然,p应该以CRSM取得最小值为原则,同时满足2≤p≤2M-1-K的条件,即:

(28)

可以分3种情况讨论p的最优值:

①情况1。M≥K+1,此时,2M-1-K≥M,CRSM在边界p=2及p=2M-1-K的取值如图2所示,p的最优值为popt=2。

②情况2。(3/2)+(K/2)≤M

根据以上分析,可得:

(29)

3 算法步骤及性能分析

3.1 算法步骤

综上所述,本文算法具体步骤如下:

①对TR MIMO雷达接收信号进行降维变换,即Z=W-1/2GHY;

⑤通过式(20)进行角度估计。

3.2 算法性能分析

1)估计精度和分辨率。

2)算法的复杂度。

根据式(29)和式(27),可以看出,在p=popt时,本文算法复杂度最低为

CRSM=8T(M-1)

(30)

RD-MUSIC和本文算法复杂度的比值为

(31)

图5为比值H随阵元数的变化图。从图中可知,在较少目标和较多阵元时,本文算法的计算效率具有更大的优势。

4 仿真实验

为了证实算法的正确性,通过以下5组实验进行对比分析。在实验中,设计MIMO模型的阵元间距为信号波长一半且为均匀线阵,发射端阵元M=8,接收端阵元N=6,采样数L=200。设置目标数K=3,来波方向分别为θ1=-10°,θ2=20°,θ3=40°。为了分析算法的统计性能进行300次Monte Carlo仿真。定义靠近角θ1和θ2,如果有函数f(·)满足:

(32)

即认为分辨成功。

1)检验算法估计性能仿真实验。

图6为使用本文算法和文献[17]算法进行的30次DOA估计,其中选取信噪比RSN=-15 dB,3个目标的角度分别为θ1=10°,θ2=15°,θ3=20°,φ为空间谱。

从图6可以看出,文献[17]算法难以分辨靠近目标,而本文算法在较低的信噪比下可以估计出目标的DOA,并且每个目标的谱峰位置较为集中,具有较好的估计性能和可靠性。

2)检验信噪比对算法精度影响仿真实验。

图7为不同信噪比4种算法的均方根误差(σ),从图7中可以看出,在低信噪比(RSN<-5 dB)时,文献[17]的低复杂度算法误差明显增大。另一方面,本文算法相比于MUSIC算法和RD-MUSIC算法的精度仅有较小损失,明显好于文献[17]。

3)检验快拍数对算法精度影响仿真实验。

图8是通过改变快拍数来观察均方根误差的变化,其中选取信噪比RSN=0。

从图8可以看出,图中的算法在低快拍时都能表现出良好的性能,本文算法性能甚至接近于MUSIC算法,明显好于文献[17]低复杂度算法。

4)检验算法目标分辨率仿真实验。

图9和图10分别给出了θ1=15°和θ2=16°的2个近目标分辨成功率随信噪比和快拍的变化关系。图中,η为分辨成功率,图9的快拍数为200,图10选取RSN=0。

从图9和图10中可以看出,相比于图中其他算法,本文算法拥有最高的分辨成功率,在低信噪比(RSN<-5 dB)和小快拍数(l<80)下全面优于其他几种算法。

5)算法运行时间对比仿真实验。

图11为本文算法、RD-MUSIC算法和文献[17]中算法在不同阵元数的条件下完成一次DOA估计的时间对比,其中选取信噪比RSN=0,目标位置分别为θ1=-10°,θ2=20°,θ3=40°。图中,ts为仿真时间。

从图11可以看出,对于计算时间,本文算法明显低于未经子空间重构的算法并接近于文献[17]中的算法。在大阵元数的条件下,相比于RD-MUSIC算法,本文算法拥有更低的计算时间,这与前面给出的计算量分析结果一致。

5 结论

本文将时间反转技术用于MIMO雷达系统,结合降维思想和子空间旋转变换技术,提出了一种科学的多目标角度估计方法。算法充分反映了TR MIMO雷达估计精度和分辨率高等特点,极大地降低了传统算法的计算量。仿真实验证明了算法的有效性。

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