量子信息中的熵不等式

摘要：设ρ和σ是表示量子状态的两个密度算子（迹为1的半正定算子），定义ρ到σ的相对熵为S（ρ‖σ）=tr（ρlogρ）-tr（ρlogσ）。分别应用密度算子的标准正交分解和凹函数的相关知识证明了S（ρ‖σ）≥0，同时把凹函数定义推广到矩阵的迹形式。

关键词：密度矩阵；量子的相对熵；迹

一、 引入

在经典信息论中，设系统X={（xi，p（xi））}，i=1，…，n，随机变量Shannon熵可以定义为随机变量取不同值的一个函数，可以看作是概率分布的函数。

定义1设X={（xi，p（xi））}，i=1，…，n为一个系统，Shannon熵定义为H（X）=H（p1，…，pn）≡-∑ni=1（pxlogpx），本文中“log”是以2为底的，“ln”是自然对数，因为log0没有定义，从直观上讲，不发生事件对Shannon熵没有贡献，因此可规定0log0=0。

定义2设p（x）和q（x）是定义在同一指标集上的概率分布，p（x）到q（x）的相对熵定义H（p（x）‖q（x））≡-∑xp（x）logq（x）p（x），定义当p（x）>0时，-p（x）log0=+∞。

定理1设p（x）和q（x）是定义在同一指标集上的概率分布，则p（x）到q（x）的相对熵是非负的，即H（q（x）‖p（x））≥0，当且仅当p（x）=q（x）时等号成立。

证明对所有的正整数x>0，logxln2=lnx≤x-1当且仅当x=1时等号成立。那么其可以变形为-logx≥1-xln2，H（q（x）‖p（x））≡-∑xp（x）logq（x）p（x）≥1ln2∑xp（x）1-q（x）p（x）=1ln2∑x（p（x）-q（x））=1ln2（1-1）=0。由上面的可知，当且仅当p（x）=q（x）对所有的x成立时取等号。

Shannon熵测量的不确定性与经典概率的分布相关联。描述量子状态的方式是类似的，只是用密度算子代替概率分布，把Shannon熵推广到量子状态。以下把量子状态下的相对熵的非负性证明做一些讨论。

二、 内容

定义3设pi是量子系统中一组状态|ψi〉对应的概率，称ρ=∑ipi|ψi〉〈ψi|为一个纯态系统的密度算子（或者成为密度矩阵）。

定理2密度算子ρ=∑ipi|ψi〉〈ψi|是一个迹为1的半正定算子。

证明因为ρ=∑ipi|ψi〉〈ψi|，所以tr（ρ）=tr（∑iρi|ψi〉〈ψi|）=∑iρitr（|ψi〉〈ψi|）=∑iρi=1，且对于任意的一个表示状态的向量|φ〉，〈φ|ρ|φ〉=〈φ|∑iρi|ψi〉〈ψi||φ〉=∑iρi〈φ，ψi〉〈ψi，φ〉=∑iρi〈ψi，φ〉2≥0

定理3一个迹为1的半正定算子ρ一定是一个密度算子。

证明因为ρ是一个半正定算子，所以ρ一定有谱分解。ρ=∑iλi|i〉〈i|，其中λi是半正定算子的非负特征值，向量组|i〉是正交的，又因为∑iλi=1，所以以λi为一组状态|i〉对应的概率的量子系统存在密度算子。

定义4设ρ是表示量子状态的密度算子，（即Von Neumann熵）定义量子状态下的熵为S（ρ）=-tr（ρlogρ）。如果λx是ρ的特征值，那么定义可以写成S（ρ）=-∑xλxlogλx

定义5设ρ和σ是表示量子状态的两个密度算子，那么ρ到σ的相对熵定义为S（ρ‖σ）=tr（ρlogρ）-tr（ρlogσ）

定理4设ρ和σ是密度算子，那么S（ρ‖σ）=tr（ρlogρ）-tr（ρlogσ）≥0，其中ρ=σ时等号成立。

证明令ρ=∑ipi|i〉〈i|和σ=∑jpj|j〉〈j|分别为ρ和σ的标准正交分解，那么有tr（ρlogρ）-tr（ρlogσ）=∑ipilogpi-∑〈i|ρlogσ|i〉，因为〈i|ρ=pi〈i|，并且〈i|logσ|i〉=〈i|（∑jlog（qj）|j〉〈j|）|i〉=∑log（qj）pij，其中pij=〈i||j〉〈j||i≥0〉，由此可得S（ρ‖σ）=∑ipi（logpi-∑jpijlogqj），其中pij≥0，并且∑ipij=1，∑jpij=1。由于log（·）是严格的凹函数，所以∑jpijlogqj≤logri，其中ri=∑jpijqj，当且仅当存在某个j，使得pij=1时等号成立，于是S（ρ‖σ）≥∑ipilogpiri，当且仅当对于每一个i都存在一个j使得pij=1时取等号。即当且仅当pij是置换阵，由经典相对熵的非负性，即定理1可知S（ρ‖σ）≥0。

定理4的又一个证明要用到以下知识。

定义5设f（x）是关于实数变量x的可微实函数，如果对于所有的x和y，都有f（y）-f（x）≤（y-x）f′（x）成立，那么函数f（x）是凹的。

例如，设函数f（x）=-xlogx，当x>0时就是凹的，因为将它代入上式中，整理可得logxy≤xy-1，此式当x>y>0时成立，因为对x>0，有不等式log（1+x）

可将上面的定义推广到矩阵求迹形式，可以得到以下定理。

定理5设ρ和σ是两个n维矩阵，且不一定对易（如果ρσ=σρ，那么就称n维矩阵ρ和σ是对易的），如果f（x）是一个凹函数，那么tr[f（σ）-f（ρ）]≤tr[（σ-ρ）f′（ρ）]。

证明设ρ和σ的特征值分别为α1，α2，…，αn和β1，β2，…，βn，将这两组数按降幂排列，得到新的两组数α′1，α′2，…，α′n和β′1，β′2，…，β′n，于是令定义2中的x和y分别取这里的α′i和β′i，利用函数的凹性，有

f（β′1）-f（α′1）≤（β′1-α′1）f（α′1）

…

f（β′n）-f（α′n）≤（β′n-α′n）f（α′n）

将这n个方程求和，注意有

∑ni=1f（α′i）=∑ni=1f（αi）=trf（ρ）

∑ni=1f（β′i）=∑ni=1f（βi）=trf（σ）

∑ni=1α′if′（α′i）=∑ni=1αif′（αi）=tr[ρf′（ρ）]

∑ni=1β′if′（α′i）=∑ni=1βif′（αi）=tr[σf′（ρ）]

因此可得tr[f（σ）-f（ρ）]≤tr[（σ-ρ）f′（ρ）]。

现在可以利用定理5给出定理4的另一种证明。

证明对于任意两个表示量子状态的密度算子ρ和σ，定义f（ρ）≡-ρlogρ和f（σ）≡-ρlogσ，利用定理3，有-S（ρ‖σ）=tr[-ρ（logρ-logσ）]=tr[f（ρ）-f（σ）+f（σ）+ρlogσ]≤tr[（ρ-σ）（-logσ-1）-（σ-ρ）logσ]=tr（σ-ρ）=0。

所以S（ρ‖σ）=tr（ρlogρ）-tr（ρlogσ）≥0。

參考文献：

[1]Michael A. Nielsen， Isaac L. Chuang著，赵千川译.量子计算和量子信息[G].清华大学出版社，2004.

[2]Stephen M. Barnett， Quantum information， Oxford Master series in atomic， optical， and laser physics.

[3]A. S. Holevo， Reliability function of general classicalquantum channel. IEEE Trans. Inform. Theory 46，2000：2256-2261.

[4]T. Ogawa， H. agaoka， Strong converse to the quantum channel coding theorem， IEEE Trans. Inform. theory，1999（45）：149-154.

作者简介：

刘波，讲师，陕西省西安市，陕西学前师范学院理学。