分数阶不确定Duffling混沌系统的终端滑模同步

毛北行，周长芹

(郑州航空工业管理学院理学院，河南 郑州 450015)

分数阶系统大量存在于现实世界，并激起了众多爱好者的极大兴趣.[1-4]考虑分数阶系统的滑模控制是极具挑战性的控制课题，故其引起了学者们的密切关注.[5-11]文献[12]利用适应控制方法研究了具有终端角度约束的滑模制导律；文献[13]基于滑模方法研究了Rössler系统的同步问题；文献[14]利用滑模方法研究了分数阶振子网络的同步；文献[15]基于滑模控制研究了分数阶异结构混沌系统的同步问题；文献[16]基于滑模控制研究了分数阶金融系统的同步.本文研究了不确定分数阶Duffling混沌系统的终端滑模同步，获得了分数阶不确定Duffling系统的主从系统取得滑模同步的充分条件.

定义1[17]Caputo分数阶导数定义为

1 分数阶不确定Duffling系统的滑模同步

以分数阶不确定Duffling混沌系统作为主系统

(1)

系统参数a=-1，b=0.25，c=0.5，ω=1，α=0.873时系统呈现混沌态.从系统设计为

(2)

假设1Δg(y1，y2)+d(t)=f(t).

假设2|f(t)|≤M|e2(t)|.

假设3e2(t)=0时，f(t)=0，e2(t)≠0时，f(t)≠0.

假设40

定义ei=yi-xi(i=1，2)，得到误差方程

不在滑模面上时，构造Lyapunov函数

则：

s(t)[-M|e2|sgns-ηsgn(s(t))+f(t)]≤
-M|e2||s(t)|+M|e2||s(t)|-η|s(t)|=-η|s(t)|<0.

由引理2，s(t)→0.

2 分数阶不确定Duffling系统的终端滑模同步

假设5存在m，n>0，使得|Δg(y1，y2)|

定义ei=yi-xi(i=1，2)，可得误差系统为

(3)

设计分数阶终端滑模函数

(4)

定理2在分数阶非奇异滑模面(4)上，系统误差(3)的轨迹能在有限时间内趋于原点.

设计控制器为双幂次趋近律

(5)

其中k1>0，k2>0，γ>1，0<μ<1.

定理3在满足假设5的条件下，如果构造控制器(5)，则误差系统(3)的轨迹能达到滑模面.

由假设条件5可得

根据引理2，s(t)→0.

3 数值仿真

利用Matlab进行数值仿真，取系统参数a=-1，b=0.25，c=0.5，ω=1，α=0.873.

定理1中设计Δg=-0.05siny1，d(t)=0.2cos(t)，η=2.设置系统初始值为(x1(0)，x2(0))=(0.1，0.2)，(y1(0)，y2(0))=(0.5，-0.6).控制律

定理3中选取参数r=1.5，λ=6，k1=10，k2=4，γ=2，μ=0.5.设计

设计新型双幂次趋近律来设计控制律为

该趋近律收敛速度较快.设置系统初始值为(x1(0)，x2(0))=(0.1，0.2)，(y1(0)，y2(0))=(-1.6，-0.55)，其系统误差如图2所示.

从图1—2可以发现：定理1中t>0.264 s以后，系统误差逐渐趋于零，表明系统达到同步；定理3中t>0.237 s以后，误差逐渐趋于坐标原点，系统取得同步化；定理3达到同步所需时间较定理1少，系统更快趋于同步，表明采用双幂次趋近控制律控制效果良好.

图1 定理1中系统的误差曲线

4 结论

研究了分数阶不确定Duffling混沌系统的滑模同步问题，构造分数阶滑模函数和控制律可以使驱动-响应系统滑模达到混沌同步.仿真实例验证了方法的正确性.

[参 考 文 献]

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