随机多种群竞争系统的动力学行为

李海红，李海霞

(1.吉林建筑大学基础科学部，吉林 长春 130024； 2.长春光华学院商学院，吉林 长春 130024)

竞争行为广泛存在于各种生物种群中[1-5].Lotka-Volterra竞争系统可描述为

(1)

其中：xi是第i个种群的密度，ri是第i个种群的内禀增长率，Ki是第i个种群对环境的容纳量.若种群之间存在相互抑制的关系，则可以用竞争系统描述.这里考虑到环境白噪声的影响，随机微分方程为

(2)

(3)

1 系统在均值意义下的持久性

在确定性系统中，文献[6]给出了均值意义下的持久性的定义.本文对随机系统也给出相应的定义.

定义1称系统(1)在时间均值意义下是持久的，是指

文献[4]研究了随机Logistic微分方程

得出如下结论：

由引理1和随机比较定理易得下面结论.

Φi(t)≤xi(t)≤φi(t)，i=1，2，…，n，

且0<Φi(t)

(5)

另外，Gray等[5]研究了带有随机扰动的SIS传染病模型

dI(t)=I(t)[(βN-μ-γ-βI(t))dt+σ(N-I(t))dB(t)].

(6)

其中：B(t)是一维的标准布朗运动；I(0)=I0∈(0，N)，N是受传染病传染的人群数量.该文得到如下结论：

由上面结果显然可以得到：

即系统(3)在均值意义下是持久的.

2 系统在均值意义下的非持久性

(7)

由Feller检验，尺度函数为

(8)

通过以上讨论，可得如下结论：

[参 考 文 献]

[1] 高芳.带有食饵避难的Leslie-Gower捕食者-食饵扩散系统的稳定性及最优税收[J].东北师大学报(自然科学版)，2014(2)：1-8.

[2] GOH B S.Global stability in many species system[J].Amer Nat，1997，111：135-143.

[3] FELLER W.An introduction to probability theory and its application：Ⅱ[M].New York：Willey and Sons，1971：1-137.

[4] JIANG D Q，ZHANG B X.Existence uniqueness and global attractivity of positive solutions and MLE of the parameters to the logistic equation with random perturbation[J].Science in China，2007(7)：977-986.

[5] GRAY A，GREENHALGH D，HU L.A stochastic differential equation SIS epidemic model[J].SIAM J on Applied Mathematics，2011，71：876-902.

[6] 陈兰荪，陈健.非线性动力系统[M].北京：中国科学技术出版社，1993：83-84.